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\)
Seção 2.4 A Forma Escada
Definição 2.4.1.
Uma matriz é dita ter sido linha reduzida à forma escada se
O primeiro elemento não nulo (chamado às vezes de pivô) de uma linha não nula é 1.
Cada coluna que contém o pivô de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas
O pivô de uma linha não nula está sempre estritamente à direita do pivô da linha acima dele.
Exemplo 2.4.3.
Determine se as seguintes matrizes abaixo se encontram linha reduzidas à forma escada:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp 0
\end{bmatrix}\)
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 \amp 2 \amp 1 \\
1 \amp 0 \amp -3 \\
0 \amp 0 \amp 0
\end{bmatrix}\)
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 \amp 1 \amp -3 \amp 0 \amp 1\\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \amp 2
\end{bmatrix}\)
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 \amp 1 \amp -3 \amp 0 \amp 2\\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 2 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0
\end{bmatrix}\)
Solução.
Verifiquemos se as matrizes abaixo cumprem as condições (a) até (d):
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp 0
\end{bmatrix}
\quad\text{Não, pois não cumpre (b).}\)
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 \amp 2 \amp 1 \\
1 \amp 0 \amp -3 \\
0 \amp 0 \amp 0
\end{bmatrix}
\quad\text{Não, pois não cumpre (a) e (d).}\)
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 \amp 1 \amp -3 \amp 0 \amp 1\\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \amp 2
\end{bmatrix}
\quad\text{Não, pois não cumpre (a) e (c).}\)
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 \amp 1 \amp -3 \amp 0 \amp 2\\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 2 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0
\end{bmatrix}
\quad\text{Sim, pois cumpre todas as condições.}\)
Tecnologia 2.4.4.
No Sage, podemos obter a forma linha reduzida à forma escada da seguinte maneira:
