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Álgebra Linear NI

Daniel Cassimiro, Ricardo Machado

Seção 5.1 Transformações Lineares

Definição 5.1.1.

Sejam \(V\) e \(W\) dois espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma função \(T:V\to W\) que satisfaz os seguintes axiomas:
  1. \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\text{;}\)
  2. \(T(\alpha\mathbf{u}) = \alpha T(\mathbf{u})\text{.}\)

Nota 5.1.2. Observação.

Decorre da definição que se \(T:V\to W\) é uma transformação linear, então \(T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\text{.}\)

Exemplo 5.1.3.

Seja \(T:\mathbb R^2\to \mathbb R^3\) dada por
\begin{equation*} T(x,y) = (2x,0,x+y). \end{equation*}
Verifique se \(T\) é linear.
Solução.
Sejam \(\mathbf{u} = (x_1,y_1)\) e \(\mathbf{v} = (x_2,y_2)\text{,}\) então
\begin{align*} T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \amp= T(x_1+x_2,y_1+y_2) \\ \amp= (2(x_1+x_2),0,x_1+x_2+y_1+y_2)\\ \amp= (2x_1,0,x_1+y_1) + (2x_2,0,x_2+y_2) \\ \amp= T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}). \end{align*}
Além disso, se \(\alpha\in \mathbb R\text{,}\)
\begin{align*} T(\alpha\mathbf{u}) \amp= T(\alpha x_1,\alpha y_1)\\ \amp= (2(\alpha x_1),0,\alpha x_1 + \alpha y_1)\\ \amp= (\alpha (2x_1),0,\alpha(x_1 + y_1))\\ \amp= \alpha (2x_1,0,x_1+y_1)\\ \amp= \alpha T(\mathbf{u}). \end{align*}
Logo, \(T\) é uma transformação linear.

Exemplo 5.1.4.

Seja \(T:\mathbb R^3\to \mathbb R^3\) dada por
\begin{equation*} T(x,y,z) = (x+1,y,z). \end{equation*}
Verifique se \(T\) é linear.
Solução.
A aplicação \(T\) não é uma transformação linear. Com efeito,
\begin{equation*} T(\mathbf{0}) = (1,0,0) \neq (0,0,0). \end{equation*}
Como \(T(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}\text{,}\) resulta que \(T\) não é uma transformação linear.

Exemplo 5.1.5.

Seja \(T:\mathbb R\to \mathbb R\) dada por
\begin{equation*} T(x) = x^2 \end{equation*}
Verifique se \(T\) é linear.
Solução.
A aplicação \(T\) não é uma transformação linear. Com efeito, se \(x=1\) e \(y=1\text{,}\) então
\begin{equation*} T(x+y) = T(2) = 2^2 = 4 \neq 1 + 1 = T(x) + T(y). \end{equation*}
Como \(T(x+y)\neq T(x) + T(y)\text{,}\) \(T\) não é uma transformação linear.

Exemplo 5.1.6.

Seja \(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m\times n}\) e \(T:\mathbb R^n\to \mathbb R^m\) dada por
\begin{equation*} T(\mathbf{v}) = \mathbf{A}\mathbf{v}, \end{equation*}
onde \(\mathbf{v}= [x_1\ \ldots\ x_n]^T\text{.}\) Verifique se \(T\) é linear.
Solução.
Sejam \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathcal M_{n\times 1}\text{,}\) então
\begin{equation*} T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \mathbf{A}(\mathbf{u}+ \mathbf{v}) = \mathbf{A}\mathbf{u} + \mathbf{A}\mathbf{v} = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \end{equation*}
Além disso, se \(\alpha\in\mathbb R\text{,}\)
\begin{equation*} T(\alpha\mathbf{v}) = \mathbf{A}(\alpha\mathbf{v}) = \alpha(\mathbf{A}\mathbf{v}) = \alpha T(\mathbf{v}). \end{equation*}
Logo, \(T\) é uma transformação linear.

Exemplo 5.1.7.

Seja \(T:\mathcal P_2\to \mathcal P_2\) dada por
\begin{equation*} T(ax^2+bx+c) = 2ax + b \end{equation*}
Verifique se \(T\) é linear.
Solução.
Note que \(T\) é a aplicação derivada: dado \(p\in\mathcal P_2\text{,}\)
\begin{equation*} T(p) = p', \end{equation*}
onde \(p'\) é a derivada de \(p\text{.}\) Ora, sabemos que a derivada \(T\) satisfaz
\begin{equation*} T(p + q) = T(p) + T(q) \end{equation*}
e
\begin{equation*} T(\alpha p) = \alpha T(p), \end{equation*}
para todos \(p,q\in\mathcal P_2\) e \(\alpha\in\mathbb R\text{.}\) Logo, \(T\) é uma transformação linear.

Exemplo 5.1.8.

Seja \(T:\mathcal M_{2\times 2}\to \mathcal M_{2\times 2}\) dada por
\begin{equation*} T(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^T, \end{equation*}
onde \(\mathbf{A}\in\mathcal M_{2\times 2}\text{.}\) Verifique se \(T\) é linear.
Solução.
Sejam \(\mathbf{A},\mathbf{B}\in\mathcal M_{2\times 2}\text{,}\)
\begin{equation*} T(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = (\mathbf{A} + \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T = T(\mathbf{A}) + T(\mathbf{B}). \end{equation*}
Além disso,
\begin{equation*} T(\alpha \mathbf{A}) = (\alpha \mathbf{A})^T = \alpha(\mathbf{A}^T) = \alpha T(\mathbf{A}). \end{equation*}
Logo, \(T\) é uma transformação linear.

Exemplo 5.1.10.

Determine a transformação linear \(T:\mathbb R^2\to \mathbb R^3\) tal que
\begin{equation*} T(1,0) = (2,-1,0),\quad\text{e}\quad T(0,1) = (0,0,1). \end{equation*}
Solução.
Seja \((x,y)\in\mathbb R^2\text{.}\) Então,
\begin{equation*} (x,y) = x(1,0) + y(0,1). \end{equation*}
Logo,
\begin{align*} T(x,y) \amp= T(x(1,0) + y(0,1))\\ \amp= xT(1,0) + yT(0,1)\\ \amp= x(2,-1,0) + y(0,0,1)\\ \amp= (2x,-x,y). \end{align*}
Logo, \(T(x,y) = (2x,-x,y)\) para todo \((x,y)\in\mathbb R^2\text{.}\)
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