Seção 6.2 Polinômio característico
Definição 6.2.1. Polinômio característico de um operador linear.
Sejam \(V\) um espaço vetorial de dimensão \(n\) e \(T:V\to V\) um operador linear. O polinômio característico associado à \(T\) é definido por
\begin{equation*}
p_T(t) = \det(t\mathbf{I} - [T]_{\mathcal B}),
\end{equation*}
onde \(\mathcal B\) é base de \(V\) e \(\mathbf{I}\) é a matriz identidade \(n\times n\text{.}\)
Exemplo 6.2.4.
Considere o operador linear \(T:\mathbb R^3\to \mathbb R^3\) dado por
\begin{equation*}
T(x,y,z) = (x+y+z,2y+z,2y+3z).
\end{equation*}
Calcule o polinômio característico de \(T\text{.}\)
Solução.
Seja \(\mathcal B\) a base canônica de \(\mathbb R^3\text{.}\) A matriz de \(T\) com relação à \(\mathcal B\) é dada por
\begin{equation*}
\mathbf{[T]}_{\mathcal B} = \left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp 1 \amp 1\\
0 \amp 2 \amp 1\\
0 \amp 2 \amp 3
\end{array}\right].
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
(t\mathbf{I} - \mathbf{[T]}_{\mathcal B}) = t\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0\\
0 \amp 1 \amp 0\\
0 \amp 0 \amp 1
\end{array}\right] - \left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp 1 \amp 1\\
0 \amp 2 \amp 1\\
0 \amp 2 \amp 3
\end{array}\right]=
\left[
\begin{array}{rrr}
t-1 \amp -1 \amp -1\\
0 \amp t-2 \amp -1\\
0 \amp -2 \amp t-3
\end{array}\right].
\end{equation*}
Assim,
\begin{equation*}
p_T(t) = \det(t\mathbf{I} - \mathbf{[T]}_{\mathcal B}) = \det\left[
\begin{array}{rrr}
t-1 \amp -1 \amp -1\\
0 \amp t-2 \amp -1\\
0 \amp -2 \amp t-3
\end{array}\right].
\end{equation*}
Resulta que
\begin{align*}
p_T(t) \amp = (t-1)(t-2)(t-3) - 2(t-1) \\
\amp = (t-1)[t^2-5t+6-2] \\
\amp = (t-1)[t^2-5t+4] \\
\amp = (t-1)(t-1)(t-4) \\
\amp = (t-1)^2(t-4).
\end{align*}
Portanto, o polinômio característico de \(T\) é dado por
\begin{equation*}
p_T(t) = (t-1)^2(t-4).
\end{equation*}
Definição 6.2.5. Polinômio característico de uma matriz.
Seja \(\mathbf{A}\in\mathcal M_{n\times n}\text{.}\) O polinômio característico associado à \(\mathbf{A}\) é definido por
\begin{equation*}
p_{\mathbf{A}}(t) = \det(t\mathbf{I} - \mathbf{A}),
\end{equation*}
onde \(\mathbf{I}\) é a matriz identidade \(n\times n\text{.}\)
Exemplo 6.2.7.
Considere a matriz \(\mathbf{A}\in\mathcal M_{3\times 3}\) dada por
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -1 \amp 0\\
2 \amp 3 \amp 2\\
1 \amp 1 \amp 2
\end{array}\right].
\end{equation*}
Calcule o polinômio característico de \(\mathbf{A}\text{.}\)
Solução.
Note que
\begin{equation*}
(t\mathbf{I} - \mathbf{A}) = t\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0\\
0 \amp 1 \amp 0\\
0 \amp 0 \amp 1
\end{array}\right] - \left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -1 \amp 0\\
2 \amp 3 \amp 2\\
1 \amp 1 \amp 2
\end{array}\right]=
\left[
\begin{array}{rrr}
t-1 \amp 1 \amp 0\\
-2 \amp t-3 \amp -2\\
-1 \amp -1 \amp t-2
\end{array}\right].
\end{equation*}
Logo, o polinômio característico de \(\mathbf{A}\) é
\begin{equation*}
p_{\mathbf{A}}(t) = \det(t\mathbf{I} - \mathbf{A}) = \det\left[
\begin{array}{rrr}
t-1 \amp 1 \amp 0\\
-2 \amp t-3 \amp -2\\
-1 \amp -1 \amp t-2
\end{array}\right].
\end{equation*}
Calculando o determinante, vem que
\begin{equation*}
p_{\mathbf{A}}(t) = (t-1)(t-3)(t-2) + 2 +2(t-2) - 2(t-1).
\end{equation*}
Portanto, o polinômio característico de \(\mathbf{A}\) é
\begin{equation*}
p_{\mathbf{A}}(t) = (t-1)(t-2)(t-3).
\end{equation*}
Teorema 6.2.8.
Sejam \(V\) espaço vetorial e \(T:V\to V\) operador linear com polinômio característico associado \(p_T(t)\text{.}\)
Então, \(\lambda\) é autovalor de \(T\) se, e somente se, \(\lambda\) é raiz de \(p_T(t)\text{.}\)
Exemplo 6.2.10.
Considere o operador linear \(T:\mathbb R^3\to \mathbb R^3\) dado por
\begin{equation*}
T(x,y,z) = (x+y+z,2y+z,2y+3z).
\end{equation*}
Determine os autovalores e os autovetores correspondentes de \(T\text{.}\)
Solução.
\begin{equation*}
p_T(t) = (t-1)^2(t-4).
\end{equation*}
Note que \(p_T(t)\) possui duas raízes distintas em \(t=1\) e \(t=4\text{.}\) Pelo Teorema 1.1, \(T\) possui dois autovalores distintos: (i) \(\lambda = 1\text{;}\) (ii) \(\lambda = 4\text{.}\)
Para determinar os autovetores associados a cada um dos autovalores de \(T\text{,}\) procedemos da seguinte forma:
-
(i) Queremos determinar os vetores não-nulos \(\mathbf{v}=(x,y,z)\) que satisfazem
\begin{equation*}
T(\mathbf{v}) = \mathbf{v}.
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
(x+y+z,2y+z,2y+3z) = (x,y,z).
\end{equation*}
Isto equivale ao sistema
\begin{equation*}
\begin{cases}
x+y+z \amp = x \\
2y+z \amp = y \\
2y+3z \amp = z.
\end{cases}
\end{equation*}
Do sistema acima, obtemos \(z=-y\text{.}\) Assim, o conjunto solução do sistema tem a forma
\begin{equation*}
E_1 = \{(x,y,-y):x,y\in\mathbb R\}.
\end{equation*}
Qualquer vetor não nulo \(\mathbf{v}\in E_1\) é autovetor de \(T\) associado ao autovalor \(\lambda =1\text{.}\)
-
(ii) Queremos determinar os vetores não-nulos \(\mathbf{v}=(x,y,z)\) que satisfazem
\begin{equation*}
T(\mathbf{v}) = 4\mathbf{v}.
\end{equation*}
Isto equivale ao sistema
\begin{equation*}
\begin{cases}
x+y+z \amp = 4x \\
2y+z \amp = 4y \\
2y+3z \amp = 4z.
\end{cases}
\end{equation*}
Do sistema acima, obtemos \(x = y\) e \(z=2y\text{.}\) Assim, o conjunto solução do sistema tem a forma
\begin{equation*}
E_4 = \{(x,x,2x):x\in\mathbb R\}.
\end{equation*}
Qualquer vetor não nulo \(\mathbf{v}\in E_4\) é autovetor de \(T\) associado ao autovalor \(\lambda =4\text{.}\)
Um polinômio \(p(t) = a_nt^n + \cdots + a_1t + a_0\) é dito mônico se \(a_n = 1\)
Duas matrizes \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\in\mathcal M_{n\times n}\) são ditas semelhantes se existir matriz inversível \(\mathbf{P}\in\mathcal M_{n\times n}\) tal que \(\mathbf{A}= \mathbf{P}^{-1} \mathbf{B} \mathbf{P}\text{.}\)
