Seção 1.2 Tipos Especiais de Matrizes
Exemplo 1.2.2.
Por exemplo, as matrizes \(A\) e \(B\) dadas por
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} \\
a_{12} .
\end{bmatrix}
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
B=
\begin{bmatrix}
b_{11} \amp b_{12} \amp b_{13}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
são matrizes coluna e linha, respectivamente.Definição 1.2.3.
Uma matriz \(0= (a_{ij})\in\mathcal M_{m\times n}\) é dita uma matriz nula se \(a_{ij} = 0\) para todo \(i=1,2,\ldots,m\) e \(j=1,2,\ldots n\text{.}\)Exemplo 1.2.4.
\begin{equation*}
0=
\begin{bmatrix}
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
é uma matriz nula de ordem \(3\times 4\text{.}\)Definição 1.2.5.
Uma matriz \(A\in\mathcal M_{m\times n}\) é dita uma matriz quadrada se \(m=n\text{,}\) ou seja, se o número de linhas de \(A\) for igual ao número de colunas de \(A\text{.}\)Exemplo 1.2.6.
\begin{equation*}
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13} \\
a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23} \\
a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
é uma matriz quadrada de dimensão \(3\times 3\text{.}\)Nota 1.2.7.
O conjunto das matrizes quadradas \(n\times n\) com entradas reais será denotado por \(\mathcal M_{n}(\mathbb R)\) ou simplesmente \(\mathcal M_{n}\text{.}\)Definição 1.2.8.
Uma matriz \(A = (a_{ij})\in\mathcal M_n\) é dita uma matriz diagonal se \(a_{ij} = 0\) para \(i\neq j\text{.}\)Exemplo 1.2.9.
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} \amp 0 \amp 0 \amp 0\\
0 \amp a_{22} \amp 0 \amp 0\\
0 \amp 0 \amp a_{33} \amp 0\\
0 \amp 0 \amp 0 \amp a_{44}\\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
é uma matriz diagonal de ordem \(4\times 4\text{.}\)Definição 1.2.10.
Uma matriz \(I = (a_{ij})\in\mathcal M_n\) é dita uma matriz identidade se
\begin{equation*}
a_{ij} = \left\{
\begin{array}{ll}
1 \amp \text{se }~ i=j,\\
0 \amp \text{se }~ i\neq j.
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Exemplo 1.2.11.
\begin{equation*}
I =
\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
é uma matriz identidade de ordem \(3\times 3\text{.}\)Definição 1.2.12.
Uma matriz \(A = (a_{ij})\in\mathcal M_{n}\) é dita uma matriz simétrica se \(a_{ij} = a_{ji}\) para todos \(i\) e \(j\text{.}\)Exemplo 1.2.13.
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13} \\
a_{12} \amp a_{22} \amp a_{23} \\
a_{13} \amp a_{23} \amp a_{33}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
é uma matriz simétrica de ordem \(3\times 3\text{.}\)Definição 1.2.14.
Uma matriz \(A = (a_{ij})\in\mathcal M_{n}\) é dita uma matriz triangular superior se \(a_{ij} = 0\) para todo \(i>j\text{.}\) Analogamente, diz-se que \(A = (a_{ij})\in\mathcal M_{n}\) é uma matriz triangular inferior se \(a_{ij} = 0\) para todo \(i\lt j\text{.}\)Exemplo 1.2.15.
As matrizes \(A\) e \(B\) dadas por
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13} \\
0 \amp a_{22} \amp a_{23} \\
0 \amp 0 \amp a_{33}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
B=
\begin{bmatrix}
a_{11} \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
a_{21} \amp a_{22} \amp 0 \amp 0 \\
a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33} \amp 0 \\
a_{41} \amp a_{42} \amp a_{43} \amp a_{44}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
são matrizes triangular superior e inferior, respectivamente.
