Ir ao conteúdo principal

Álgebra Linear NI

Daniel Cassimiro, Ricardo Machado

Seção 3.1 Determinante de uma Matriz

Definição 3.1.1.

Uma permutação dos elementos de um conjunto \(S\) é qualquer reordenação dos elementos de \(S\text{.}\) Assim, por exemplo, se \(S=\{1,2,3\}\) então \((1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)\) são as 6 permutações dos elementos de \(S\text{.}\) Se \(n\in \mathbb Z_+\text{,}\) definimos o fatorial de \(n\) como sendo o número
\begin{equation*} n! = n (n-1)(n-2) \cdots 1. \end{equation*}
Completamos a definição pondo \(0!=1\text{.}\) Pode-se mostrar que o número de permutações de um conjunto \(S\) com \(n\) elementos é precisamente \(n!\text{.}\)

Definição 3.1.2.

Seja \(S\) um conjunto e \(\sigma\) uma permutação dos elementos de \(S\text{.}\) Uma inversão de \(\sigma\) é um par \((i,j)\) de posições cujas entradas estão em ordem oposta.
Assim, por exemplo se \(S=\{1,2,3,4,5\}\) e \(\sigma = (2,3,1,5,4)\text{,}\) então \(\sigma\) possui três inversões: os pares \((1,3), (2,3)\) e \((4,5)\) que correspondem as entradas \((2,1), (3,1)\) e \((5,4)\text{.}\)
Denotaremos o número de inversões de uma permutação \(\sigma\) por \(I(\sigma)\text{.}\)

Exemplo 3.1.3.

Seja \(S = \{1,2,3\}\text{.}\) Calcule o número de inversões \(I(\sigma)\) para cada uma das permutações \(\sigma\) dos elementos de \(S\text{.}\)
Solução.
A tabela abaixo contém todas as permutações \(\sigma\) de \(S\) e o número de inversões \(I(\sigma)\) correspondente:
Tabela 3.1.4. Valores de \(I(\sigma)\) para cada permutação \(\sigma\) de \(S=\{1,2,3\}\text{.}\)
\(\sigma\) \(I(\sigma)\)
\((1,2,3)\) \(0\)
\((1,3,2)\) \(1\)
\((2,1,3)\) \(1\)
\((2,3,1)\) \(2\)
\((3,1,2)\) \(2\)
\((3,2,1)\) \(3\)

Definição 3.1.5.

(Determinante de uma matriz - Fórmula de Leibniz) Seja \(A = (a_{ij})_{n\times n}\text{.}\) O determinante de \(A\text{,}\) denotado por \(\det(A)\) ou \(|A|\text{,}\) é definido por
\begin{equation*} \det(A) = \sum_\sigma \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1j_1}a_{2j_2}\ldots a_{nj_n}, \end{equation*}
na qual \(\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)}\) é o sinal da permutação \(\sigma = (j_1,j_2,\ldots,j_n)\) e o somatório se estende sobre todas as permutações \(\sigma\) de \(\{1,2,\ldots,n\}\text{.}\) Se \(A = [a_1\ a_2\ \ldots a_n]^T\text{,}\) onde \(a_i\) é a \(i\)-ésima linha de \(A\text{,}\) então podemos interpretar o determinante como uma função das linhas de \(A\text{:}\)
\begin{equation*} \det(A) = \det(a_1,a_2,\ldots,a_n). \end{equation*}

Exemplo 3.1.6.

Seja
\begin{equation*} \mathbf{A}\in\mathcal{M}_{2\times 2} \end{equation*}
dada por
\begin{equation*} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix}. \end{equation*}
Use a Fórmula de Leibniz para calcular
\begin{equation*} \det(\mathbf{A}). \end{equation*}
Solução.
Temos que \(\{1,2\}\) só admite duas permutações: \(\sigma_1=(1,2)\) e \(\sigma_2=(2,1)\text{.}\) Além disso, \(I(\sigma_1) = 0\) e \(I(\sigma_2) = 1\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \det(\mathbf{A}) \amp= \sum_\sigma sgn(\sigma) a_{1j_1}a_{2j_2} \\ \amp= (-1)^0a_{1{1}}a_{2{2}} + (-1)^1 a_{1{2}}a_{2{1}}\\ \amp= ad - bc. \end{align*}

Exemplo 3.1.7.

Seja \(\mathbf{A}\in\mathcal{M}_{3\times 3}\) dada por
\begin{align*} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13} \\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23} \\ a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33} \end{bmatrix}. \end{align*}
Use a Fórmula de Leibniz para calcular \(\det(\mathbf{A})\text{.}\)
Solução.
Usando a Tabela 3.1.4 , temos
\begin{align*} \det(\mathbf{A}) \amp= \sum_\sigma sgn(\sigma) a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}\\ \amp= (-1)^0 a_{1\mathbf{1}}a_{2\mathbf{2}}a_{3\mathbf{3}} + (-1)^1 a_{1\mathbf{1}}a_{2\mathbf{3}}a_{3\mathbf{2}} + (-1)^1 a_{1\mathbf{2}}a_{2\mathbf{1}}a_{3\mathbf{3}}\\ \amp+ (-1)^2 a_{1\mathbf{2}}a_{2\mathbf{3}}a_{3\mathbf{1}} + (-1)^2 a_{1\mathbf{3}}a_{2\mathbf{1}}a_{3\mathbf{2}} + (-1)^3 a_{1\mathbf{3}}a_{2\mathbf{2}}a_{3\mathbf{1}} \end{align*}

Nota 3.1.9.

As propriedades do determinante que dizem respeito às colunas de \(\mathbf{A}\) também valem para as suas linhas.

Tecnologia 3.1.10.

Calculando o determinante de uma matriz:
<Anterior^TopPróximo>
Feito com PreTeXt
Powered by Runestone