Seção 5.3 Transformações Lineares e Matrizes
Exemplo 5.3.3.
Seja
\begin{align*}
\mathbf{A} =
\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -2 \amp 3\\
2 \amp 0 \amp 4
\end{array}
\right].
\end{align*}
Determine a transformação \(T_{\mathbf{A}}\) associada à matriz \(\mathbf{A}\text{.}\)
Solução.
Seja \(\mathbf{v}= (x,y,z)\in\mathbb R^3\text{.}\) Então, \(T_{\mathbf{A}}:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) é dada por
\begin{align*}
T_{\mathbf{A}}(\mathbf{v}) \amp=
\mathbf{A}\mathbf{v} \amp=
\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -2 \amp 3\\
2 \amp 0 \amp 4
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{r}
x\\
y\\
z
\end{array}
\right] \amp=
\left[
\begin{array}{r}
x-2y+3z\\
2x+4z
\end{array}
\right].
\end{align*}
Portanto, \(T_{\mathbf{A}}(x,y,z) = (x-2y+3z,2x+4z)\) para todo \((x,y,z)\in\mathbb R^3\text{.}\)
Teorema 5.3.4.
Seja \(T:V\to W\) uma transformação linear, \(B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\) base de \(V\) e \(B'=\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_m\}\) base de \(W\text{.}\) Então, existe uma única matriz \(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m\times n}\) tal que \(T = T_{\mathbf{A}}\text{.}\) Tal matriz será denotada por \([T]^B_{B'}\text{.}\) Além disso, se
\begin{align*}
T(\mathbf{v}_1) \amp= a_{11}\mathbf{w}_1 + a_{21}\mathbf{w}_2 + \cdots + a_{m1}\mathbf{w}_m\\
T(\mathbf{v}_2) \amp= a_{12}\mathbf{w}_1 + a_{22}\mathbf{w}_2 + \cdots + a_{m2}\mathbf{w}_m\\
\amp\vdots\\
T(\mathbf{v}_n) \amp= a_{1n}\mathbf{w}_1 + a_{2n}\mathbf{w}_2 + \cdots + a_{mn}\mathbf{w}_m,
\end{align*}
então,
\begin{align*}
[T]^B_{B'} =
\left[
\begin{array}{cccc}
a_{11} \amp a_{12} \amp \cdots \amp a_{1n}\\
a_{21} \amp a_{22} \amp \cdots \amp a_{2n}\\
\vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots\\
a_{m1} \amp a_{m2} \amp \cdots \amp a_{mn}
\end{array}
\right],
\end{align*}
ou seja, \([T]^B_{B'}\) é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores \(T(\mathbf{v}_1),\ldots,T(\mathbf{v}_n)\text{.}\)
Exemplo 5.3.5.
Seja \(T:\mathbb R^3\to \mathbb R^2\) dado por
\begin{equation*}
T(x,y,z) = (2x+y-z, 3x-2y+4z).
\end{equation*}
Se \(B = \{(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)\}\) é uma base de \(\mathbb R^3\) e \(B' = \{(1,3), (1,4)\}\) é uma base de \(\mathbb R^2\text{,}\) então determine \([T]^B_{B'}\text{.}\)
Solução.
Temos
\begin{align*}
T(1,1,1) \amp = (2,5) = 3(1,3) - (1,4) \\
T(1,1,0) \amp = (3,1) = 11(1,3) - 8(1,4) \\
T(1,0,0) \amp = (2,3) = 5(1,3) - 3(1,4)
\end{align*}
Logo,
\begin{equation*}
[T]^B_{B'} =
\left[
\begin{array}{rrr}
3 \amp 11 \amp 5\\
-1 \amp -8 \amp -3
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Exemplo 5.3.6.
Sejam \(B = \{(1,1),(0,1)\}\) base de \(\mathbb R^2\) e \(B'=\{(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1)\}\) base de \(\mathbb R^3\text{.}\) Determine a transformação linear \(T:\mathbb R^2\to \mathbb R^3\) cuja matriz é
\begin{equation*}
[T]^B_{B'} =
\left[
\begin{array}{rr}
0 \amp 2\\
-1 \amp 0\\
-1 \amp 3
\end{array}
\right]
\end{equation*}
Solução.
Interpretando a matriz, temos:
\begin{align*}
T(1,1) \amp = 0(0,3,0) -1(-1,0,0) -1(0,1,1) = (1,-1,-1) \\
T(0,1) \amp = 2(0,3,0) + 0(-1,0,0) + 3(0,1,1) = (0,9,3).
\end{align*}
Escrevendo agora
\begin{equation*}
(x,y) = x(1,1) + (y-x)(0,1)
\end{equation*}
vem que
\begin{align*}
T(x,y) \amp = xT(1,1) + (y-x)T(0,1) \\
\amp = x(1,-1,-1) + (y-x)(0,9,3) \\
\amp = (x, 9y-10x, 3y-4x).
\end{align*}
Logo, \(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3\) é dada por \(T(x,y) = (x, 9y-10x, 3y-4x)\text{.}\)
Teorema 5.3.7.
Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais, \(B\) base de \(V\text{,}\) \(B'\) base de \(W\) e \(T:V\to W\) transformação linear. Então, para todo \(\mathbf{v}\in V\text{,}\) vale
\begin{equation*}
[T(\mathbf{v})]_{B'} = [T]^B_{B'}[\mathbf{v}]_B.
\end{equation*}
Exemplo 5.3.9.
Considere a transformação linear \(T:\mathbb R^2\to \mathbb R^3\) dada por
\begin{equation*}
[T]_{B'}^B =
\left[
\begin{array}{rr}
1 \amp -1\\
0 \amp 1\\
-2 \amp 3
\end{array}
\right]
\end{equation*}
em que \(B = \{(1,0),(0,1)\}\) é base de \(\mathbb R^2\) e \(B'=\{(1,0,1),(-2,0,1),(0,1,0)\}\) é base de \(\mathbb R^3\text{.}\) Calcule \(T(2,-3)\text{.}\)
Solução.
Temos que
\begin{equation*}
[\mathbf{v}]_B =
\left[
\begin{array}{r}
2 \\
-3
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
[T(\mathbf{v})]_{B'} = [T]^B_{B'}[\mathbf{v}]_B=
\left[
\begin{array}{rr}
1 \amp -1\\
0 \amp 1\\
-2 \amp 3
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{r}
2 \\
-3
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{r}
5 \\
-3\\
-13
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
T(2,-3) = 5(1,0,1) -3 (-2,0,1) -13(0,1,0) = (11,-13,2).
\end{equation*}
Teorema 5.3.10.
Seja \(T:V\to W\) uma transformação linear e \(B\) e \(B'\) bases de \(V\) e \(W\text{,}\) respectivamente. Então,
O posto de \([T]^B_{B'}\) é igual a \(\dim\text{Im}(T)\text{;}\)
A nulidade
1 de
\([T]^B_{B'}\) é igual a
\(\dim\mathcal N(T)\text{.}\)
Exemplo 5.3.11.
Seja \(T:\mathbb R^3\to \mathbb R^3\) dada por
\begin{equation*}
T(x,y,z) = (x,2y,0).
\end{equation*}
Determine a dimensão do núcleo e da imagem de \(T\text{.}\)
Solução.
Seja \(B\) a base canônica do \(\mathbb R^3\text{.}\) Então,
\begin{equation*}
[T]^B_B =
\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0\\
0 \amp 2 \amp 0\\
0 \amp 0 \amp 0
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Note que \([T]^B_B\) está na forma escada. Concluímos que o posto de \([T]^B_B\) é 2 e a nulidade de \([T]^B_B\) é \(3-2=1\text{.}\) Logo, \(\dim\mathcal N(T) = 1\) e \(\dim\text{Im}(T) = 2\text{.}\)
Teorema 5.3.12.
Sejam \(T:V\to W\) e \(S:W\to U\) transformações lineares e \(B\text{,}\) \(B'\) e \(B''\) bases de \(V\text{,}\) \(W\) e \(U\text{,}\) respectivamente. Então, a composta \(S\circ T: V\to U\) é linear e
\begin{equation*}
[S\circ T]^B_{B''} = [S]^{B'}_{B''}[T]^B_{B'}.
\end{equation*}
Exemplo 5.3.13.
Sejam \(T:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\) e \(S:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\) dadas respectivamente por
\begin{equation*}
T(x,y) = (2x,2y)\quad\text{e}\quad S(x,y) = (x+2y,y).
\end{equation*}
Determine a transformação linear composta \(S\circ T\text{.}\)
Solução.
Se \(B=\{(1,0),(0,1)\}\) é a base canônica de \(\mathbb R^2\text{,}\) então
\begin{equation*}
[T]_B^B =
\left[
\begin{array}{rr}
2 \amp 0\\
0 \amp 2
\end{array}
\right]\quad\text{e}\quad
[S]_B^B =
\left[
\begin{array}{rr}
1 \amp 2\\
0 \amp 1
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
[S\circ T]_B^B = [S]_B^B [T]_B^B =
\left[
\begin{array}{rr}
1 \amp 2\\
0 \amp 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{rr}
2 \amp 0\\
0 \amp 2
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
2 \amp 4\\
0 \amp 2
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Logo, \(S\circ T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) é dado por \((S\circ T)(x,y) = (2x+4y,2y)\) para todo \((x,y)\in\mathbb R^2\text{.}\)
Corolário 5.3.14.
Seja
\(T:V\to W\) uma transformação linear inversível
2 e
\(B\) e
\(B'\) bases de
\(V\) e
\(W\text{,}\) respectivamente. Então
\(T^{-1}:W\to V\) é um operador linear e
\begin{equation*}
[T^{-1}]^{B'}_B = \left([T]^{B}_{B'}\right)^{-1}.
\end{equation*}
Exemplo 5.3.16.
Seja \(T:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\) uma transformação linear dada por
\begin{equation*}
[T]_B^B =
\left[
\begin{array}{rr}
3 \amp 4\\
2 \amp 3
\end{array}
\right],
\end{equation*}
onde \(B\) é a base canônica. Determine \(T^{-1}:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\text{.}\)
Solução.
Como \(\det [T]_B^B = 1\neq 0\text{,}\) \(T\) é inversível. Além disso,
\begin{equation*}
[T^{-1}]^{B}_B = \left([T]^{B}_{B}\right)^{-1} =
\left[
\begin{array}{rr}
3 \amp 4\\
2 \amp 3
\end{array}
\right]^{-1} =
\left[
\begin{array}{rr}
3 \amp -4\\
-2 \amp 3
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Logo, \(T^{-1}:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) é dado por \(T^{-1}(x,y) = (3x-4y,-2x+3y)\) para todo \((x,y)\in\mathbb R^2\text{.}\)
Corolário 5.3.17.
Seja \(T:V\to W\) uma transformação linear, \(B_1\) e \(B_2\) bases de \(V\) e \(B_1'\) e \(B_2'\) bases de \(W\text{.}\) Então,
\begin{equation*}
[T]^{B_1'}_{B_2'} = [I]^{B_2}_{B_2'} [T]^{B_1}_{B_2}[I]^{B_1'}_{B_1}.
\end{equation*}
Exemplo 5.3.18.
Considere a transformação linear dada por \(T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\) cuja matriz em relação a base canônica \(B\) é
\begin{equation*}
[T]_B^B =
\left[
\begin{array}{rrr}
-2 \amp 4 \amp -4\\
1 \amp -2 \amp 1\\
3 \amp -6 \amp 5
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Determine \([T]_{B'}^{B'}\text{,}\) onde \(B'=\{(0,1,1),(-1,0,1),(1,1,1)\}\text{.}\)
Solução.
Calculando as matrizes de mudança de base, obtemos
\begin{equation*}
[I]_{B}^{B'} =
\left[
\begin{array}{rrr}
0 \amp -1 \amp 1\\
1 \amp 0 \amp 0\\
1 \amp 1 \amp 1
\end{array}
\right]
\quad\text{e}\quad
[I]_{B'}^{B} =
\left[
\begin{array}{rrr}
-1 \amp 2 \amp -1\\
0 \amp -1 \amp 1\\
1 \amp -1 \amp 1
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Portanto,
\begin{align*}
[T]_{B'}^{B'} \amp = [I]_{B'}^{B} [T]_B^B [I]_{B}^{B'} \\
\amp =
\left[
\begin{array}{rrr}
-1 \amp 2 \amp -1\\
0 \amp -1 \amp 1\\
1 \amp -1 \amp 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{rrr}
-2 \amp 4 \amp -4\\
1 \amp -2 \amp 1\\
3 \amp -6 \amp 5
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{rrr}
0 \amp -1 \amp 1\\
1 \amp 0 \amp 0\\
1 \amp 1 \amp 1
\end{array}
\right]\\
\amp =
\left[
\begin{array}{rrr}
-1 \amp 0 \amp 0\\
0 \amp 2 \amp 2\\
0 \amp 0 \amp 0
\end{array}
\right].
\end{align*}
Recorde que a nulidade de uma matriz é a diferença entre o seu número de colunas e o seu posto.
Uma função \(T:V\to W\) é inversível se, e somente se, é injetora e sobrejetora.
