UFRPE-DM Transformações Lineares e Matrizes

Seção 5.3 Transformações Lineares e Matrizes

Nota 5.3.1.

Seja \(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m\times n}\text{.}\) Podemos associar à \(\mathbf{A}\) uma transformação linear \(T_{\mathbf{A}}:\mathbb R^n\to \mathbb R^m\) da seguinte forma: para todo \(\mathbf{v}\in\mathbb R^n\text{,}\)

\begin{equation*} T_{\mathbf{A}}(\mathbf{v}) = \mathbf{A}\mathbf{v}. \end{equation*}

Nota 5.3.2.

Vimos no Exemplo 5.1.6 que a função \(T_{\mathbf{A}}\) acima é uma transformação linear.

Exemplo 5.3.3. Exemplo 10.1.

Seja

\begin{align*} \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 \amp -2 \amp 3\\ 2 \amp 0 \amp 4 \end{array} \right]. \end{align*}

Determine a transformação \(T_{\mathbf{A}}\) associada à matriz \(\mathbf{A}\text{.}\)

Solução.

Seja \(\mathbf{v}= (x,y,z)\in\mathbb R^3\text{.}\) Então, \(T_{\mathbf{A}}:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) é dada por

\begin{align*} T_{\mathbf{A}}(\mathbf{v}) \amp= \mathbf{A}\mathbf{v} \amp= \left[ \begin{array}{rrr} 1 \amp -2 \amp 3\\ 2 \amp 0 \amp 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array} \right] \amp= \left[ \begin{array}{r} x-2y+3z\\ 2x+4z \end{array} \right]. \end{align*}

Portanto, \(T_{\mathbf{A}}(x,y,z) = (x-2y+3z,2x+4z)\) para todo \((x,y,z)\in\mathbb R^3\text{.}\)

Teorema 5.3.4.

Seja \(T:V\to W\) uma transformação linear, \(B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\) base de \(V\) e \(B'=\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_m\}\) base de \(W\text{.}\) Então, existe uma única matriz \(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m\times n}\) tal que \(T = T_{\mathbf{A}}\text{.}\) Tal matriz será denotada por \([T]^B_{B'}\text{.}\) Além disso, se

\begin{align*} T(\mathbf{v}_1) \amp= a_{11}\mathbf{w}_1 + a_{21}\mathbf{w}_2 + \cdots + a_{m1}\mathbf{w}_m\\ T(\mathbf{v}_2) \amp= a_{12}\mathbf{w}_1 + a_{22}\mathbf{w}_2 + \cdots + a_{m2}\mathbf{w}_m\\ \amp\vdots\\ T(\mathbf{v}_n) \amp= a_{1n}\mathbf{w}_1 + a_{2n}\mathbf{w}_2 + \cdots + a_{mn}\mathbf{w}_m, \end{align*}

então,

\begin{align*} [T]^B_{B'} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} \amp a_{12} \amp \cdots \amp a_{1n}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp \cdots \amp a_{2n}\\ \vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots\\ a_{m1} \amp a_{m2} \amp \cdots \amp a_{mn} \end{array} \right], \end{align*}

ou seja, \([T]^B_{B'}\) é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores \(T(\mathbf{v}_1),\ldots,T(\mathbf{v}_n)\text{.}\)

Álgebra Linear NI

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Seção 5.3 Transformações Lineares e Matrizes

Nota 5.3.1.

Nota 5.3.2.

Exemplo 5.3.3. Exemplo 10.1.

Teorema 5.3.4.