Definição 6.4.1. (Operadores diagonalizáveis).
Sejam \(V\) um espaço vetorial e \(T:V\to V\) um operador linear. Dizemos que \(T\) é diagonalizável se existir uma base \(\mathcal B\) de \(V\) formada por autovetores de \(T\text{.}\)
Seção 6.4 Diagonalização de Operadores e de Matrizes
Subseção 6.4.1 Diagonalização de Operadores
Teorema 6.4.2.
Sejam \(V\) espaço vetorial de dimensão \(n\) e \(T:V\to V\) um operador linear. Então, \(T\) é diagonalizável se, e somente se, existe uma base \(\mathcal B\) de \(V\) tal que \([T]_{\mathcal B}\) é diagonal.
Exemplo 6.4.3.
Considere o operador linear \(T:\mathbb R^3\to \mathbb R^3\) dado por
\begin{equation*}
T(x,y,z) = (x+y+z,2y+z,2y+3z).
\end{equation*}
Determine se \(T\) é um operador diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base \(\mathcal B\) de \(\mathbb R^3\) na qual \([T]_{\mathcal B}\) é uma matriz diagonal.
Solução.
Vimos no Exemplo 6.2.10 que \(T\) possui dois autovalores distintos \(\lambda=1\) e \(\lambda=4\text{.}\) Os autoespaços associados a cada um destes autovalores são, respectivamente,
\begin{equation*}
E_1 = \{(x,y,-y):x,y\in\mathbb R\}\quad\text{e}\quad E_4 = \{(x,x,2x):x\in\mathbb R\}.
\end{equation*}
Além disso,
\begin{equation*}
E_1 = \langle(1,0,0),(0,1,-1)\rangle\quad\text{e}\quad E_4= \langle(1,1,2)\rangle.
\end{equation*}
Tomando \(\mathcal B = \{(1,0,0),(0,1,-1),(1,1,2)\}\text{,}\) é fácil ver que \(\mathcal B\) é base de \(\mathbb R^3\) (Verifique!). Como \(\mathcal B\) é formada por autovetores de \(T\text{,}\) \(T\) é diagonalizável.
Com relação à base \(\mathcal B\text{,}\) a matriz de \(T\) é a matriz diagonal
\begin{equation*}
[T]_{\mathcal B} = \left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 4
\end{array}
\right],
\end{equation*}
pois
\begin{align*}
T(1,0,0) \amp = 1\cdot (1,0,0) + 0\cdot (0,1,-1) + 0\cdot (1,1,2) \\
T(0,1,-1) \amp = 0\cdot (1,0,0) + 1\cdot (0,1,-1) + 0\cdot (1,1,2) \\
T(1,1,2) \amp = 0\cdot (1,0,0) + 0\cdot (0,1,-1) + 4\cdot (1,1,2).
\end{align*}
Subseção 6.4.2 Diagonalização de matrizes
Definição 6.4.4. (Matrizes diagonalizáveis).
Seja \(\mathbf{A}\in\mathcal M_{n\times n}\text{.}\) Dizemos que \(\mathbf{A}\) é diagonalizável se \(\mathbf{A}\) for semelhante à uma matriz diagonal.
Em outras palavra, \(\mathbf{A}\) é diagonalizável se existirem matrizes \(\mathbf{P},\mathbf{D}\in\mathcal M_{n\times n}\text{,}\) com \(\mathbf{P}\) inversível e \(\mathbf{D}\) diagonal tais que
\begin{equation*}
\mathbf{D} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}.
\end{equation*}
Teorema 6.4.5.
Seja \(\mathbf{A}\in\mathcal M_{n\times n}\text{.}\) Então \(\mathbf{A}\) é diagonalizável se, e somente se, \(\mathbf{A}\) possui \(n\) autovetores linearmente independentes. Neste caso, \(\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}\text{,}\) onde
\begin{equation*}
\mathbf{P} = \left[
\begin{array}{cccc}
| \amp | \amp \amp | \\
\mathbf{v}_1 \amp \mathbf{v}_2 \amp \vdots \amp \mathbf{v}_n \\
| \amp | \amp \amp |
\end{array}
\right]\quad\text{e}\quad
\mathbf{D} = \left[
\begin{array}{rrrr}
\lambda_1 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \\
0 \amp \lambda_2 \amp \cdots \amp 0 \\
\vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots \\
0 \amp 0 \amp \cdots \amp \lambda_n \\
\end{array}
\right],
\end{equation*}
\(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) são autovetores linearmente independentes de \(\mathbf{A}\) e \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) são os autovalores correspondentes, na mesma ordem.
Exemplo 6.4.6.
Seja \(\mathbf{A}\in\mathcal M_{3\times 3}\) a matriz
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -1 \amp 0 \\
2 \amp 3 \amp 2 \\
1 \amp 1 \amp 2
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Determine se \(\mathbf{A}\) é diagonalizável.
Solução.
Vimos no Exemplo 6.2.7 que o polinômio característico de \(\mathbf{A}\) é
\begin{equation*}
p_{\mathbf{A}}(t) = (t-1)(t-2)(t-3).
\end{equation*}
Pelo Teorema 6.2.8, \(\mathbf{A}\) possui três autovalores distintos: \(\lambda=1\text{,}\) \(\lambda=2\) e \(\lambda=3\text{.}\) A seguir, determinemos os autovetores de \(\mathbf{A}\) associados à cada um destes autovalores.
Para \(\lambda=1\text{,}\) os autovetores de \(\mathbf{A}\) são os vetores não-nulos \(\mathbf{v}=[x,y,z]^T\in\mathcal M_{3\times 1}\) tais que \(\mathbf{A}\mathbf{v} = \mathbf{v}\text{,}\) ou seja,
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -1 \amp 0 \\
2 \amp 3 \amp 2 \\
1 \amp 1 \amp 2
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{r}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{r}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right].
\end{equation*}
A equação matricial ao sistema
\begin{align*}
x-y \amp = x \\
2x+3y+2z \amp = y \\
x+y+2z \amp = z
\end{align*}
O sistema é equivalente à \(y=0\) e \(z=-x\text{.}\) Logo, o autoespaço associado à \(\lambda=1\) tem a forma
\begin{equation*}
E_1 = \{(x,0,-x):x\in\mathbb R\} = \langle (1,0,-1)\rangle.
\end{equation*}
Para \(\lambda=2\text{,}\) queremos achar vetores não-nulos \(\mathbf{v}=[x,y,z]^T\in\mathcal M_{3\times 1}\) tais que \(\mathbf{A}\mathbf{v} = 2\mathbf{v}\text{.}\) Isto corresponde ao sistema
\begin{align*}
x-y \amp = 2x \\
2x+3y+2z \amp = 2y \\
x+y+2z \amp = 2z
\end{align*}
O sistema é equivalente às equações \(y=-x\) e \(x=-2z\text{.}\) Logo, o autoespaço associado à \(\lambda=2\) tem a forma
\begin{equation*}
E_2 = \{(-2z,2z,z):z\in\mathbb R\} = \langle(-2,2,1)\rangle.
\end{equation*}
Por fim, para \(\lambda=3\text{,}\) queremos achar vetores não-nulos \(\mathbf{v}=[x,y,z]^T\in\mathcal M_{3\times 1}\) tais que \(\mathbf{A}\mathbf{v} = 3\mathbf{v}\text{.}\) Isto corresponde ao sistema
\begin{align*}
x-y \amp = 3x \\
2x+3y+2z \amp = 3y \\
x+y+2z \amp = 3z
\end{align*}
O sistema é equivalente às equações \(y=-2x\) e \(z=-x\text{.}\) Logo, o autoespaço associado à \(\lambda=3\) tem a forma
\begin{equation*}
E_3 = \{(x,-2x,-x):x\in\mathbb R\} = \langle(1,-2,-1)\rangle.
\end{equation*}
Pondo \(\mathcal B = \{(1,0,-1),(-2,2,1),(1,-2,-1)\}\text{,}\) pode-se mostrar que \(\mathcal B\) é base de \(\mathbb R^3\) (Verifique!).
Defina \(\mathbf{P}\) 1 \(\in\mathcal M_{3\times 3}\) como a matriz cujas colunas são os elementos de \(\mathcal B\text{:}\)
\begin{equation*}
\mathbf{P} =
\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -2 \amp 1 \\
0 \amp 2 \amp -2 \\
-1 \amp 1 \amp -1
\end{array}
\right]
\end{equation*}
Temos que \(\mathbf{P}\) é inversível, pois suas colunas são vetores LI. Um cálculo simples mostra que
\begin{equation*}
\mathbf{P}^{-1} =
\left[
\begin{array}{rrr}
0 \amp \frac{1}{2} \amp 1 \\
1 \amp 0 \amp 1 \\
1 \amp \frac{1}{2} \amp 1
\end{array}
\right]
\end{equation*}
Como,
\begin{align*}
\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} \amp =
\left[
\begin{array}{rrr}
0 \amp \frac{1}{2} \amp 1 \\
1 \amp 0 \amp 1 \\
1 \amp \frac{1}{2} \amp 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -1 \amp 0 \\
2 \amp 3 \amp 2 \\
1 \amp 1 \amp 2
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -2 \amp 1 \\
0 \amp 2 \amp -2 \\
-1 \amp 1 \amp -1
\end{array}
\right]\\
\amp =
\left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 2 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 3
\end{array}
\right] = \mathbf{D},
\end{align*}
resulta que \(\mathbf{A}\) é semelhante à uma matriz diagonal \(\mathbf{D}\text{.}\) Assim, \(\mathbf{A}\) é diagonalizável.
Note que \(\mathbf{P}\) é a matriz de mudança de base de \(\mathcal B\) para a base canônica.
