Determine a ordem de cada uma das matrizes e quais somas e produtos podem ser efetuados entre duas matrizes distintas das que foram dadas acima. Nos casos em que tais operações forem possíveis, determine os seus resultados. Calcule a transposta de cada matriz acima.
2.
Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
\(\displaystyle (-A)^t = -A^t\)
\(\displaystyle (A+B)^t = B^t+A^t\)
\(\displaystyle (AB)^t=A^tB^t\)
Se \(AB=0\text{,}\) então \(A=0\) ou \(B=0\)
\(\displaystyle (k_1A)(k_2B)=(k_1k_2)AB\)
\(\displaystyle (-A)(-B)=-(AB)\)
Se \(AB=0\text{,}\) então \(BA=0\)
Se \(A^2=AA=0\text{,}\) então \(A=0\)
Se for possível efetuar o produto \(AA\text{,}\) então \(A\) é uma matriz quadrada.
Sejam \(A\) uma matriz de ordem \(n\times n\) e \(E_i\) a n-úpla que possui todas as coordenadas nulas, com exceção da \(i\)-ésima, que é \(1\text{.}\) Mostre que \(E_iA=A_i\text{,}\) isto é, a \(i\)-ésima linha da matriz \(A\text{,}\) e que \(A^tE_i =A^i\text{,}\) isto é, a \(i\)-ésima coluna da matriz \(A\text{.}\)
calcule \(A^2\) e \(A^3\) e, em geral calcule \(A^n\text{,}\) em que \(n\) é um inteiro positivo.
8.
Seja \(A=(a_{ij})_{n\times n}\) uma matriz quadrada de ordem \(n\text{.}\) Definimos o traço de \(A\text{,}\) e denotamos por \(Tr(A)\text{,}\) a soma das entradas da diagonal principal. Assim,
