UFRPE-DM Independência Linear

Seção 4.6 Independência Linear

Definição 4.6.1.

Sejam \(V\) um espaço vetorial e \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n \in V\text{.}\) Dizemos que o conjunto \(\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) é linearmente independente se

\begin{gather*} \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \end{gather*}

implica que \(\alpha_1 = \cdots = \alpha_n = 0\text{.}\)

Se \(\alpha_i \neq 0\) para algum \(i = 1, \ldots, n\text{,}\) então dizemos que o conjunto \(\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) é linearmente dependente.

Nota 4.6.2.

Decorre da definição que:

O conjunto \(\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{0}, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) é linearmente dependente, quaisquer que sejam os vetores \(\mathbf{v}_i\text{.}\)
Se \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\text{,}\) então \(\{\mathbf{v}\}\) é linearmente independente.
Dois vetores \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\) são linearmente dependentes se, e somente se, \(\mathbf{u} = \alpha \mathbf{v}\text{.}\)
Se \(A\) é um conjunto linearmente independente de vetores e \(B \subset A\text{,}\) então \(B\) é linearmente independente. Reciprocamente, se \(B\) é um conjunto linearmente dependente e \(A \supset B\text{,}\) então \(A\) é linearmente dependente.

Exemplo 4.6.3.

Verifique se os vetores

\begin{gather*} \mathbf{u} = (1,1,0), \quad \mathbf{v} = (1,3,2), \quad \mathbf{w} = (4,9,5) \end{gather*}

são linearmente independentes.

Solução.

Suponha que

\begin{gather*} \alpha_1 (1,1,0) + \alpha_2 (1,3,2) + \alpha_3 (4,9,5) = (0,0,0) \end{gather*}

Isto nos dá o seguinte sistema homogêneo:

\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 + 4\alpha_3 = 0\\ \alpha_1 + 3\alpha_2 + 9\alpha_3 = 0\\ 2\alpha_2 + 5\alpha_3 = 0 \end{cases} \end{equation*}

A matriz dos coeficientes do sistema é

\begin{align*} \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 \amp 1 \amp 4\\ 1 \amp 3 \amp 9\\ 0 \amp 2 \amp 5 \end{array} \right] \end{align*}

Como \(\det(\mathbf{A}) = 0\text{,}\) o sistema é indeterminado. Assim, existem \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) não todos nulos tais que

\begin{equation*} \alpha_1 (1,1,0) + \alpha_2(1,3,2)+\alpha_3(4,9,5) = (0,0,0) \end{equation*}

Logo, \(\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}\) é linearmente dependente.

Tecnologia 4.6.4.

Calculando o determinante de \(A\)

Calculando o subespaço gerado pelos três vetores dados:

Resolvendo o sistema dado na solução do problema anterior:

Teorema 4.6.5.

O conjunto \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\) é linearmente dependente se, e somente se, existir um \(i=1,\ldots,n\) tal que

\begin{gather*} \mathbf{v}_i = \beta_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + \beta_{i-1} \mathbf{v}_{i-1} + \beta_{i+1} \mathbf{v}_{i+1} + \cdots + \beta_n \mathbf{v}_n \end{gather*}

Em outras palavras, o conjunto é linearmente dependente se algum dos vetores puder ser escrito como combinação linear dos outros.

Exemplo 4.6.6.

Mostre que o conjunto

\begin{align*} \left\{ \left[ \begin{array}{rr} 2 \amp 0\\ 0 \amp 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rr} 0 \amp 1\\ -1 \amp 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rr} 2 \amp 4\\ -4 \amp 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rr} 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \end{array} \right] \right\} \end{align*}

é linearmente dependente.

Solução.

Note que

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr} 2 \amp 4\\ -4 \amp 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 2 \amp 0\\ 0 \amp 0 \end{array} \right] + 4\left[ \begin{array}{rr} 0 \amp 1\\ -1 \amp 0 \end{array} \right] + 0\left[ \begin{array}{rr} 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \end{array} \right]. \end{equation*}

Pelo Teorema 4.6.5, o conjunto é linearmente dependente, pois um dos vetores é combinação linear dos demais.

Álgebra Linear NI

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