Logo, \(A\) é não singular com \(B = A^{-1}\text{.}\)
Definição2.7.6.
Dizemos que uma matriz \(E\) é uma matriz elementar se \(E\) é obtida da identidade, através da aplicação de uma operação elementar com linhas.
Nota2.7.7.
Pode-se mostrar que operar nas linhas de uma matriz \(A\) equivale a multiplicar \(A\) à esquerda pela matriz elementar correspondente.
Além disso, toda matriz elementar \(E\) é não singular e a sua inversa \(E^{-1}\) corresponde à operação com linhas inversa da operação efetuada pela matriz \(E\text{.}\)
Teorema2.7.8.
Seja \(A\in\mathcal M_{n\times n}\text{.}\) Então \(A\) é não singular se e somente se, a matriz-linha equivalente a forma escada de \(A\) é a matriz identidade \(I\text{.}\) Neste caso, \(A\) é dada por um produto de matrizes elementares.
Nota2.7.9.
Uma consequência do Teorema 2.7.8 é a seguinte: suponha que a matriz-linha equivalente a forma escada de \(A\) é a matriz identidade \(I\text{,}\) ou seja,
\begin{align*}
I \amp= E_k E_{k-1}\cdots E_2 E_1 A\\\\
\amp= ( E_k E_{k-1}\cdots E_2 E_1 I) A
\end{align*}
Se uma matriz \(A\) pode ser reduzida à matriz identidade por uma sequência de operações elementares nas linhas de \(A\text{,}\) então \(A\) é não singular e a matriz inversa \(A^{-1}\) é obtida a partir da matriz identidade, aplicando-se a mesma sequência de operações nas linhas de \(I\text{.}\)
Nota2.7.11.
Na prática, operamos simultaneamente com as matrizes \(A\) e \(I\text{,}\) através de operações elementares, até chegarmos à matriz \(I\) na posição correspondente à \(A\text{.}\) A matriz obtida no lugar correspondente à matriz \(I\) será a inversa de \(A\text{.}\)
A inversa de uma matriz pode ser obtida da seguinte maneira:
Outra maneira de obter a inversa:
Nota2.7.14.
(Inversão de Matrizes e Sistemas Lineares) Considere um sistema de equações lineares da forma \(A x = b\text{,}\) na qual \(A\in\mathcal M_{n\times n}\text{,}\)\(x\in\mathcal M_{n\times 1}\) e \(b\in\mathcal M_{n\times 1}\text{.}\) Se \(A\) for não singular, então o sistema \(A x = b\) possui uma única solução, a saber,
\begin{equation*}
x = A^{-1}b.
\end{equation*}
Em particular, se \(b = 0\text{,}\) então, o sistema homogêneo \(A x = 0\) admite apenas a solução trivial \(x = 0\text{.}\)
