Definição 4.8.1.
Seja \(V\) um espaço vetorial. A dimensão de \(V\) é o número de elementos de uma base de \(V\text{,}\) denotado por \(\dim V\text{.}\)
Seção 4.8 Dimensão
Nota 4.8.2. Observações.
- O conjunto \(B = \{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\}\text{,}\) onde \(\mathbf{e}_i\) (\(i=1,\ldots,n\)) é o vetor com \(i\)-ésima coordenada 1 e demais coordenadas iguais a zero, é base de \(\mathbb{R}^n\text{,}\) denominada de base canônica do \(\mathbb{R}^n\text{.}\) Resulta que \(\dim \mathbb{R}^n = n\text{.}\)
- O conjunto \(B = \{1,x,x^2,\ldots,x^n\}\text{,}\) é uma base de \(\mathcal{P}_n\text{,}\) denominada de base canônica do \(\mathcal{P}_n\text{.}\) Logo, \(\dim \mathcal{P}_n = n+1\text{.}\)
- O conjunto \(B = \{\mathbf{E}_{11},\ldots,\mathbf{E}_{mn}\}\text{,}\) onde \(\mathbf{E}_{ij}\) é a matriz cuja entrada \((i,j)\) é igual a 1 e demais entradas iguais a zero, é uma base de \(\mathcal{M}_{m\times n}\text{,}\) denominada de base canônica do \(\mathcal{M}_{m\times n}\text{.}\) Portanto, \(\dim \mathcal{M}_{m\times n} = m \cdot n\text{.}\)
- Alguns espaços vetoriais possuem dimensão infinita. Por exemplo, considere o espaço vetorial \(\mathcal{P}\) dos polinômios com coeficientes reais. Uma base para \(\mathcal{P}\) é o conjunto \(B = \{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\}\text{.}\) Assim, \(\mathcal{P}\) possui dimensão infinita. Neste curso, os espaços considerados terão sempre dimensão finita.
Teorema 4.8.3.
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita. Se \(S \subset V\) é linearmente independente, então existe um conjunto \(B \subset V\) tal que \(B \supset S\) e \(B\) é uma base de \(V\text{.}\)
Em outras palavras, podemos estender um conjunto \(S\) linearmente independente de vetores de \(V\) à uma base \(B\) de \(V\text{.}\)
Teorema 4.8.4.
Suponha que \(V\) é um espaço vetorial de dimensão \(n\text{.}\) Então:
- Um conjunto \(B \subset V\) de \(n\) vetores é linearmente independente se, e somente se, é uma base de \(V\text{.}\)
- Um conjunto \(B \subset V\) de \(n\) vetores gera \(V\) se, e somente se, é uma base de \(V\text{.}\)
Exemplo 4.8.5.
Mostre que \(B = \{(2,3),(3,4)\}\) é uma base de \(V = \mathbb{R}^2\text{.}\)
Solução.
Como \(\dim \mathbb{R}^2 = 2\) e \(B\) possui dois elementos, então é suficiente mostrar que \(B\) é linearmente independente ou que \(B\) gera \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Mostremos que \(B\) é linearmente independente. Ora, mas já observamos que um conjunto com dois elementos é linearmente dependente se, e somente se, um vetor é múltiplo do outro. Como se vê facilmente, não existe \(\alpha \in \mathbb{R}\) tal que \((3,4) = \alpha (2,3)\text{.}\)
Logo, \(B\) é linearmente independente e, portanto, uma base de \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Teorema 4.8.6.
Sejam \(U\) e \(W\) subespaços vetoriais de um espaço vetorial \(V\) de dimensão finita. Então, \(\dim U \leq \dim V\) e \(\dim W \leq \dim V\text{.}\) Além disso,
\begin{equation*}
\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 4.8.7.
Considere os subespaços vetoriais de \(\mathbb{R}^3\text{,}\)
\begin{gather*}
U = \{(x,y,z): x+y-z=0\} \quad \text{e} \quad W = \{(x,y,z): x=y\}
\end{gather*}
Determine os subespaços \(U+W\) e \(U\cap W\text{.}\)
Solução.
Note que
\begin{align*}
U =\amp \{(x,y,x+y): x,y \in \mathbb{R}\} \\
=\amp
\{x(1,0,1) + y(0,1,1): x,y \in \mathbb{R}\} \\
=\amp
\langle (1,0,1),(0,1,1) \rangle,
\end{align*}
\begin{align*}
W =\amp \{(z,z,t): z,t \in \mathbb{R}\} \\
=\amp
\{z(1,1,0) + t(0,0,1): z,t \in \mathbb{R}\}\\
=\amp
\langle (1,1,0),(0,0,1) \rangle.
\end{align*}
Então,
\begin{align*}
U+W =\amp \{ \mathbf{u} + \mathbf{w} : \mathbf{u} \in U, \mathbf{w} \in W \} \\
=\amp
\{ x(1,0,1) + y(0,1,1) + z(1,1,0) + t(0,0,1) : x,y,z,t \in \mathbb{R} \} \\
=\amp
\langle (1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1) \rangle.
\end{align*}
Agora, dado \(\mathbf{v}=(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\text{,}\)
\begin{gather*}
(x,y,z) = \alpha_1(1,0,1) + \alpha_2(0,1,1) + \alpha_3(1,1,0) + \alpha_4(0,0,1)
\end{gather*}
\begin{gather*}
\alpha_1 = x, \quad
\alpha_2 = y, \quad
\alpha_3 = 0, \quad
\alpha_4 = z - x - y
\end{gather*}
Logo, o sistema possui infinitas soluções. Portanto, \(U+W = \mathbb{R}^3\text{.}\)
Além disso, pelo Teorema 4.8.6,
\begin{gather*}
\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U+W) = 2 + 2 - 3 = 1
\end{gather*}
\begin{align*}
U \cap W =\amp \{(x,y,z): x+y-z=0 \text{ e } x=y\} \\
=\amp \{(x,x,2x): x \in \mathbb{R}\} \\
=\amp \langle (1,1,2) \rangle
\end{align*}
Tecnologia 4.8.8.
Calculando o determinante de uma matriz:
