1.
Seja
\begin{equation*}
T:R^{2}\rightarrow R^{2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
(x,y)\mapsto(y,2y).
\end{equation*}
Mostre que \(\lambda=2\) é um autovalor de T e vetores da forma (x, 2x) são os autovetores correspondentes.
Seção 6.3 Exercícios
Exercícios Exercícios
2.
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
- \(T:R^{2}\rightarrow R^{2}\) tal que \(T(x,y)=(2y,x)\)
- \(T:R^{2}\rightarrow R^{2}\) tal que \(T(x,y)=(x+y,2x+y)\)
- \(T:R^{3}\rightarrow R^{3}\) tal que \((x,y,z)\mapsto(x+y,x-y+2z,2x+y-z)\)
- \(T:P_{2}\rightarrow P_{2}\) tal que \(T(ax^{2}+bx+c)=ax^{2}+cx+b\)
- \(T:M_{2}\rightarrow M_{2}\) tal que \(A\mapsto A^{t}\) (Isto é, T é a transformação que leva uma matriz na sua transposta.)
- \(T:R^{4}\rightarrow R^{4}\) tal que \(T(x,y,z,w)=(x,x+y,x+y+z,x+y+z+w)\)
- Encontre a transformação linear \(T:R^{2}\rightarrow R^{2}\text{,}\) tal que T tenha autovalores \(-2\) e \(3\) associados aos autovetores \((3y,y)\) e \((-2y,y)\) respectivamente.
3.
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}1\amp2\\ 0\amp-1\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}1\amp1\\ 1\amp1\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}1\amp2\amp3\\ 0\amp1\amp2\\ 0\amp0\amp1\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}3\amp-3\amp-4\\ 0\amp3\amp5\\ 0\amp0\amp-1\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}1\amp0\amp2\\ -1\amp0\amp1\\ 1\amp1\amp2\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}1\amp1\amp2\\ 1\amp2\amp1\\ 2\amp1\amp1\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}0\amp1\amp0\\ 0\amp0\amp1\\ -1\amp0\amp0\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}1\amp3\amp-3\\ 0\amp4\amp0\\ -3\amp3\amp1\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}-1\amp-4\amp14\\ 2\amp-7\amp14\\ 2\amp-4\amp11\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}2\amp0\amp1\amp0\\ 0\amp2\amp0\amp1\\ 12\amp0\amp3\amp0\\ 0\amp-1\amp0\amp0\end{bmatrix}\)
4.
Seja
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}-1\amp-2\amp0\\ 0\amp-1\amp1\\ 1\amp0\amp0\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Quais são os autovalores e autovetores de A de um espaço vetorial:
- Real
- Complexo
5.
Se \(\lambda\) é autovalor da transformação linear \(T:V\rightarrow V\) e \(v\) é autovetor associado a ele, mostre que
- \(kv\) é outro autovetor associado a \(\lambda\) se \(k\ne0\)
- O conjunto formado pelos autovetores associados a \(\lambda\) e o vetor nulo é subespaço de V.
6.
Suponha que \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\) sejam autovalores distintos e diferentes de zero de \(T:R^{2}\rightarrow R^{2}\text{.}\) Mostre que- Os autovetores \(v_1\) e \(v_2\) correspondentes são LI.
- \(T(v_{1})\) e \(T(v_{2})\) são LI.
7.
Seja
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}0\amp2\\ 1\amp1\end{bmatrix}.
\end{equation*}
- Ache os autovalores de A e de \(A^{-1}\)
- Quais são os autovetores correspondentes?
8.
Suponha que \(\lambda\) seja autovalor de \(T:V\rightarrow V\) com autovetor v e \(\alpha\) um número não nulo. Ache os autovalores e autovetores de \(\alpha T\text{.}\)
9.
Suponha que \(v\in V\) seja autovetor de \(T:V\rightarrow V\) e \(S:V\rightarrow V\text{,}\) ao mesmo tempo com autovalores \(\lambda_{1}\) e \(\lambda_{2}\) respectivamente. Ache autovetores e autovalores de
- \(\displaystyle S+T\)
- \(\displaystyle S\circ T\)
10.
Seja \(T:V\rightarrow V\) linear
- Se \(\lambda=0\) é autovalor de T, mostre que T não é injetora.
- A recíproca é verdadeira? Ou seja, se T não é injetora, \(\lambda=0\) é autovalor de T?
11.
Sejam
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}1\amp2\amp1\\ 0\amp-1\amp1\\ 0\amp0\amp-1\end{bmatrix} \text{ e } B=\begin{bmatrix}1\amp3\amp1\\ 0\amp2\amp0\\ 0\amp0\amp3\end{bmatrix}
\end{equation*}
matrizes inversíveis.
- Calcule AB e BA e observe que estes produtos são distintos.
- Encontre os autovalores de AB e os de BA. O que você observa?
- Encontre os autovetores de AB e os de BA. O que você nota?
- Motivado pelos itens anteriores, mostre que: se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, os autovalores de AB e BA são os mesmos. Mostre mais ainda: se \(\lambda_{1}\) é um autovalor de AB com autovetor v, então \(\lambda_{1}\) é autovalor de BA com autovetor Bv. Da mesma forma, se \(\lambda_{2}\) é um autovalor de BA com autovetor w, então \(\lambda_{2}\) é autovalor de AB com autovetor Aw.
