UFRPE-DM A Adjunta Clássica

Seção 3.3 A Adjunta Clássica

Definição 3.3.1. (A Adjunta de uma Matriz).

Seja \(\mathbf{A} = (a_{ij})_{n\times n}\text{.}\) A adjunta da matriz \(\mathbf{A}\text{,}\) denotada por \(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\text{,}\) é definida por

\begin{equation*} \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = (\Delta_{ji})_{n\times n}, \end{equation*}

na qual, \(\Delta_{ij} = (-1)^{i+j}\det(\mathbf{A}_{ij})\) é o cofator do elemento \(a_{ij}\text{.}\) Em outras palavras, se \(\bar{\mathbf{A}} = (\Delta_{ij})_{n\times n}\) é a matriz dos cofatores de \(\mathbf{A}\text{,}\) então a adjunta de \(\mathbf{A}\) é dada por \(\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = (\bar{\mathbf{A}})^T\text{.}\)

Exemplo 3.3.2.

Seja \(\mathbf{A} = (a_{ij})_{2\times 2}\) dada por

\begin{align*} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 \amp 3 \\ 1 \amp 4 \end{bmatrix} \end{align*}

Calcule a adjunta de \(\mathbf{A}\text{.}\)

Solução.

Calculemos os cofatores de cada um dos elementos de \(\mathbf{A}\text{:}\)

\begin{align*} \Delta_{11} =\amp (-1)^{1+1} a_{22} = 4 \\ \Delta_{12} =\amp (-1)^{1+2} a_{21} = -1\\ \Delta_{21} =\amp (-1)^{2+1} a_{12} = -3\\ \Delta_{22} =\amp (-1)^{2+2} a_{11} = 2 \end{align*}

Assim, a matriz dos cofatores de \(\mathbf{A}\) é dada por

\begin{align*} \bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} 4 \amp -1 \\ -3 \amp 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Portanto, a adjunta de \(\mathbf{A}\) é a matriz

\begin{align*} \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = (\bar{\mathbf{A}})^T = \begin{bmatrix} 4 \amp -3 \\ -1 \amp 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Tecnologia 3.3.3.

Calculando a adjunta de uma matriz:

Teorema 3.3.4.

Seja \(\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{n\times n}\text{.}\) Então, \(\mathbf{A}\) é não singular se, e somente se, \(\det(\mathbf{A}) \neq 0\text{.}\) Em caso afirmativo,

\begin{gather*} \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})}\mathrm{adj}(\mathbf{A}) \end{gather*}

Exemplo 3.3.5.

Seja \(\mathbf{A} = (a_{ij})_{2\times 2}\) dada por

\begin{align*} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 \amp 3 \\ 1 \amp 4 \end{bmatrix} \end{align*}

Determine se \(\mathbf{A}\) é não singular e, em caso afirmativo, calcule a inversa de \(\mathbf{A}\text{.}\)

Solução.

Temos que

\begin{align*} \det(\mathbf{A}) = \begin{vmatrix} 2 \amp 3 \\ 1 \amp 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 5 \end{align*}

Assim, \(\mathbf{A}\) é não singular. Por outro lado, vimos no Exemplo 3.3.2 que

\begin{align*} \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = (\bar{\mathbf{A}})^T = \begin{bmatrix} 4 \amp -3 \\ -1 \amp 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Logo,

\begin{align*} \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})}\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 \amp -3 \\ -1 \amp 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Álgebra Linear NI