Seja \(\mathcal E\) base canônica do \(\mathbb R^2\text{.}\) A matriz de \(T\) com relação à \(\mathcal E\) é
\begin{equation*}
[T]_{\mathcal E} =
\left[
\begin{array}{rr}
0 \amp 1\\
-1 \amp -2
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Segue que o polinômio característico de \(T\) é
\begin{equation*}
p_T(t) = \det(t\mathbf{I} - [T]_{\mathcal E}) = \det\left[
\begin{array}{rr}
t \amp -1\\
1 \amp t+2
\end{array}
\right],
\end{equation*}
ou seja,
\begin{equation*}
p_T(t) = t(t+2) +1 = t^2+2t+1 = (t+1)^2.
\end{equation*}
Pelo Teorema 1.1, \(\lambda=-1\) é o único autovalor de \(T\text{.}\) Logo, \(T\) será diagonalizável se \(\gamma_T(-1) = \mu_T(-1) = 2\text{.}\)
Os autovetores associados à \(\lambda=-1\) são os vetores não nulos \(\mathbf{v} = (x,y)\in\mathbb R^2\) tais que de \(T(\mathbf{v}) = -\mathbf{v}\text{,}\) o que fornece o sistema
\begin{align*}
y \amp = -x\\
-x-2y \amp = -y.
\end{align*}
O sistema acima equivale à \(y=-x\text{.}\) Assim, o autoespaço associado à \(\lambda=-1\) é
\begin{equation*}
E_{-1} = \{(x,-x):x\in\mathbb R\} = \langle(1,-1)\rangle.
\end{equation*}
Portanto, \(\gamma_T(-1) = \dim(E_{-1}) = 1 \lt; \mu_T(-1) = 2\text{.}\) Logo, \(T\) não é diagonalizável.
