Nota 4.11.1. (Matriz de Mudança de Base).
Sejam \(B = \{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n\}\) e \(B' = \{\mathbf w_1,\ldots,\mathbf w_n\}\) duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial \(V\text{.}\) Dado \(\mathbf v \in V\text{,}\)
\begin{equation}
\mathbf v = \alpha_1 \mathbf v_1 + \cdots + \alpha_n \mathbf v_n\tag{4.11.1}
\end{equation}
e
\begin{equation}
\mathbf v = \beta_1 \mathbf w_1 + \cdots + \beta_n \mathbf w_n\tag{4.11.2}
\end{equation}
Então, as coordenadas de \(\mathbf v\) com relação às bases \(B\) e \(B'\) são, respectivamente,
\begin{equation*}
[\mathbf v]_B =
\left[
\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\vdots\\
\alpha_n
\end{array}
\right], \quad
[\mathbf v]_{B'} =
\left[
\begin{array}{c}
\beta_1 \\
\vdots\\
\beta_n
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Como \(B\) é base de \(V\) e \(\mathbf w_i \in V\) então
\begin{equation*}
\begin{cases}
\mathbf w_1 = a_{11}\mathbf v_1 + a_{21}\mathbf v_2 + \cdots + a_{n1}\mathbf v_n \\
\mathbf w_2 = a_{12}\mathbf v_1 + a_{22}\mathbf v_2 + \cdots + a_{n2}\mathbf v_n \\
\vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \\
\mathbf w_n = a_{1n}\mathbf v_1 + a_{2n}\mathbf v_2 + \cdots + a_{nn}\mathbf v_n
\end{cases}
\end{equation*}
Substituindo em (4.11.2), obtemos
\begin{align*}
\mathbf v =\amp \beta_1 \mathbf w_1 + \cdots + \beta_n \mathbf w_n\\
=\amp \beta_1(a_{11}\mathbf v_1 + a_{21}\mathbf v_2 + \cdots + a_{n1}\mathbf v_n) + \cdots + \beta_n(a_{1n}\mathbf v_1 + a_{2n}\mathbf v_2 + \cdots + a_{nn}\mathbf v_n)\\
=\amp (\beta_1 a_{11} + \cdots + \beta_n a_{1n})\mathbf v_1 + \cdots + (\beta_1 a_{n1} + \cdots + \beta_n a_{nn})\mathbf v_n
\end{align*}
Igualando a (4.11.1), temos
\begin{equation*}
\alpha_1 \mathbf v_1 + \cdots + \alpha_n \mathbf v_n = (\beta_1 a_{11} + \cdots + \beta_n a_{1n})\mathbf v_1 + \cdots + (\beta_1 a_{n1} + \cdots + \beta_n a_{nn})\mathbf v_n
\end{equation*}
Isto corresponde ao sistema linear
\begin{equation*}
\begin{cases}
\alpha_1 = \beta_1 a_{11} + \cdots + \beta_n a_{1n} \\
\alpha_2 = \beta_1 a_{21} + \cdots + \beta_n a_{2n} \\
\vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \\
\alpha_n = \beta_1 a_{n1} + \cdots + \beta_n a_{nn}
\end{cases}
\end{equation*}
O sistema pode ser escrito na sua forma matricial como
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{cccc}
a_{11} \amp a_{12} \amp \cdots \amp a_{1n} \\
a_{21} \amp a_{22} \amp \cdots \amp a_{2n} \\
\vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots \\
a_{n1} \amp a_{n2} \amp \cdots \amp a_{nn}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\beta_1 \\
\beta_2 \\
\vdots \\
\beta_n
\end{array}
\right]
\end{equation*}
A matriz
\begin{equation*}
[I]_{B}^{B'} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} \amp a_{12} \amp \cdots \amp a_{1n} \\ a_{21} \amp a_{22} \amp \cdots \amp a_{2n} \\ \vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots \\ a_{n1} \amp a_{n2} \amp \cdots \amp a_{nn} \end{array} \right]
\end{equation*}
é chamada matriz de mudança de base da base \(B\) para a base \(B'\text{.}\) Assim, a relação anterior pode ser escrita como
\begin{equation*}
[\mathbf v]_B = [I]_{B}^{B'} [\mathbf v]_{B'}.
\end{equation*}
Note que \([I]_{B}^{B'}\) é a matriz cuja i-ésima coluna são as coordenadas de \(\mathbf w_i\) na base \(B\text{.}\)
