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Álgebra Linear NI

Daniel Cassimiro, Ricardo Machado

Seção 4.7 Base

Definição 4.7.1. Base de um espaço vetorial.

Seja \(V\) um espaço vetorial. Um conjunto \(B = \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} \subset V\) é uma base de \(V\) se:
  1. O conjunto \(B\) é linearmente independente:
    se
    \begin{equation*} \alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}\text{,} \end{equation*}
    então \(\alpha_i = 0\) para \(i=1,\ldots,n\text{.}\)
  2. O conjunto \(B\) gera \(V\text{:}\)
    para todo \(\mathbf{v}\in V\text{,}\) existem \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \mathbb{R}\) tais que
    \begin{equation*} \mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_n\mathbf{v}_n. \end{equation*}

Exemplo 4.7.2.

Mostre que
\begin{equation*} B = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} \end{equation*}
é uma base para \(V = \mathbb{R}^3\text{.}\)
Solução.
Mostremos que \(B\) é linearmente independente. Sejam \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in \mathbb{R}\) tais que
\begin{gather*} \alpha_1(1,0,0) + \alpha_2(0,1,0) + \alpha_3(0,0,1) = (0,0,0). \end{gather*}
Isto equivale ao sistema
\begin{gather*} \alpha_1 = 0 \\ \alpha_2 = 0 \\ \alpha_3 = 0 \end{gather*}
Logo, \(B\) é linearmente independente.
Mostremos que \(B\) gera \(\mathbb{R}^3\text{.}\) Dado \(\mathbf{v} = (x,y,z)\text{,}\) precisamos mostrar que existem \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in \mathbb{R}\) tais que
\begin{gather*} (x,y,z) = \alpha_1(1,0,0) + \alpha_2(0,1,0) + \alpha_3(0,0,1). \end{gather*}
Basta tomar \(\alpha_1 = x\text{,}\) \(\alpha_2 = y\) e \(\alpha_3 = z\text{.}\) Logo, \(B\) gera \(\mathbb{R}^3\) e, portanto, é uma base de \(\mathbb{R}^3\text{.}\)

Tecnologia 4.7.3.

Obtendo uma base para o subespaço gerado pelos vetores do conjunto B:

Exemplo 4.7.4.

Determine se
\begin{gather*} B = \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,-1)\} \end{gather*}
é uma base para \(V = \mathbb{R}^3\text{.}\)
Solução.
Mostremos que \(B\) gera \(V\text{.}\) Dado \(\mathbf{v} = (x,y,z)\text{,}\) precisamos mostrar que existem \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in \mathbb{R}\) tais que
\begin{gather*} (x,y,z) = \alpha_1(1,1,1) + \alpha_2(1,1,0) + \alpha_3(1,0,0) + \alpha_4(0,1,-1). \end{gather*}
Isto equivale ao sistema
\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 \amp= x\\ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_4 \amp= y\\ \alpha_1 - \alpha_4 \amp= z \end{cases} \end{equation*}
A matriz ampliada do sistema é
\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp x\\ 1 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \amp y\\ 1 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \amp z \end{array} \right] \end{align*}
A matriz-linha reduzida à forma escada da matriz ampliada é
\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp z\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 2 \amp y-z\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -1 \amp x-y \end{array} \right] \end{align*}
Assim, o sistema é possível, pois o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. Portanto, \(B\) gera \(V\text{.}\)
Vamos verificar se \(B\) é linearmente independente. Suponha que
\begin{gather*} \alpha_1(1,1,1) + \alpha_2(1,1,0) + \alpha_3(1,0,0) + \alpha_4(0,1,-1) = (0,0,0). \end{gather*}
Precisamos mostrar que o sistema associado
\begin{align*} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 \amp= 0\\ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_4 \amp= 0\\ \alpha_1 - \alpha_4 \amp= 0 \end{align*}
admite apenas a solução trivial. A matriz ampliada do sistema é
\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 1 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \end{array} \right] \end{align*}
A matriz-linha reduzida à forma escada da matriz ampliada é
\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 2 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \end{array} \right] \end{align*}
Assim, o sistema é possível, pois o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
Porém, o sistema é indeterminado, pois o posto da matriz ampliada é menor que 4. Assim, o sistema admite infinitas soluções além da solução trivial.
Segue que \(B\) é linearmente dependente. Portanto, \(B\) não é base de \(\mathbb{R}^3\text{.}\)

Tecnologia 4.7.5.

Obtendo uma base para o subespaço gerado pelos vetores do conjunto B:

Exemplo 4.7.6.

Determine se
\begin{gather*} B = \{(2,0,0),(3,4,0)\} \end{gather*}
é uma base para \(V = \mathbb{R}^3\text{.}\)
Solução.
O conjunto \(B\) não é base de \(\mathbb{R}^3\text{,}\) pois \(B\) não gera o espaço. Se \(\mathbf{v} = (0,0,1) \in \mathbb{R}^3\text{,}\) então
\begin{gather*} (0,0,1) = \alpha_1(2,0,0) + \alpha_2(3,4,0) \end{gather*}
equivale ao sistema impossível
\begin{align*} \begin{aligned} 2\alpha_1 + 3\alpha_2 &= 0 \\ 4\alpha_2 &= 0 \\ 1 &= 0 \end{aligned} \end{align*}
Logo, \(\mathbf{v} = (0,0,1)\) não pertence ao subespaço gerado por \(B\text{,}\) mas \((0,0,1) \in \mathbb{R}^3\text{.}\) Assim, \(B\) não gera \(\mathbb{R}^3\text{.}\)

Tecnologia 4.7.7.

Obtendo uma base para o subespaço gerado pelos vetores do conjunto B:
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