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\)
Seção 4.1 Espaços Vetoriais
Definição 4.1.1 .
Um espaço vetorial real é um conjunto \(V\text{,}\) não-vazio, com duas operações:
a adição de vetores \(+ : V \times V \to V\text{,}\) que associa a cada par de elementos \(\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V\) o elemento \(\mathbf{v} + \mathbf{w}\text{,}\) chamado a soma de \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{w}\text{;}\)
a multiplicação por escalar \(\cdot : \mathbb{R} \times V \to V\text{,}\) que associa a cada elemento \(\alpha \in \mathbb{R}\) e a cada elemento \(\mathbf{v} \in V\) o elemento \(\alpha \mathbf{v}\text{,}\) chamado o produto de \(\alpha\) e \(\mathbf{v}\text{;}\)
Além disso, as propriedades de i. até viii. precisam ser satisfeitas para quaisquer \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V\) e \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\text{.}\)
Para todos
\(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V\text{,}\) vale:
\begin{equation*}
(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}).
\end{equation*}
Para todos
\(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\text{,}\) vale:
\begin{equation*}
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}.
\end{equation*}
Existe
\(\mathbf{0} \in V\text{,}\) chamado de
vetor nulo , tal que para todo
\(\mathbf{v} \in V\text{:}\)
\begin{equation*}
\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}.
\end{equation*}
Para todo
\(\mathbf{v} \in V\text{,}\) existe
\(-\mathbf{v} \in V\text{,}\) chamado de
simétrico de
\(\mathbf{v}\text{,}\) tal que:
\begin{equation*}
\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}.
\end{equation*}
Para todos
\(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) e
\(\mathbf{v} \in V\text{:}\)
\begin{equation*}
(\alpha \beta)\mathbf{v} = \alpha(\beta \mathbf{v}).
\end{equation*}
Para todo
\(\mathbf{v} \in V\text{:}\)
\begin{equation*}
1 \mathbf{v} = \mathbf{v}.
\end{equation*}
Para todos
\(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\) e todo
\(\alpha \in \mathbb{R}\text{:}\)
\begin{equation*}
\alpha(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \alpha \mathbf{u} + \alpha \mathbf{v}.
\end{equation*}
Para todo
\(\mathbf{v} \in V\) e todos
\(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\text{:}\)
\begin{equation*}
(\alpha + \beta)\mathbf{v} = \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{v}.
\end{equation*}
Exemplo 4.1.3 . (O Espaço Vetorial \(\mathbb{R}^n\) ).
Seja \(V\) o conjunto:
\begin{equation*}
V = \mathbb{R}^n = \{(x_1, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}.
\end{equation*}
Se \(\mathbf{u} = (x_1, \ldots, x_n)\) e \(\mathbf{v} = (y_1, \ldots, y_n)\text{,}\) então definimos a adição de vetores em \(V\) por:
\begin{equation*}
\mathbf{u} + \mathbf{v}
= (x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n)
= (x_1+y_1, \ldots, x_n+y_n).
\end{equation*}
Se \(\alpha \in \mathbb{R}\text{,}\) então a multiplicação por escalar em \(V\) é definida por:
\begin{equation*}
\alpha \mathbf{v}
= \alpha (x_1, \ldots, x_n)
= (\alpha x_1, \ldots, \alpha x_n).
\end{equation*}
O elemento neutro de \(V\) é o vetor nulo :
\begin{equation*}
\mathbf{0} = (0, \ldots, 0).
\end{equation*}
Exemplo 4.1.4 . (O Espaço Vetorial \(\mathcal{M}_{m \times n}\) ).
Seja \(V\) o conjunto:
\begin{equation*}
V = \mathcal{M}_{m \times n} = \{(a_{ij})_{m \times n} : a_{ij} \in \mathbb{R}\}.
\end{equation*}
Se \(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n}\) e \(\mathbf{B} = (b_{ij})_{m \times n}\text{,}\) então definimos a adição de vetores em \(V\) por:
\begin{equation*}
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}.
\end{equation*}
Se \(\alpha \in \mathbb{R}\text{,}\) então a multiplicação por escalar em \(V\) é definida por:
\begin{equation*}
\alpha \mathbf{A} = (\alpha a_{ij})_{m \times n}.
\end{equation*}
O elemento neutro de \(V\) é a matriz nula \(\mathbf{0}\) de dimensão \(m \times n\text{.}\)
Exemplo 4.1.5 . (O Espaço Vetorial \(\mathcal{P}_n\) ).
Seja \(V\) o conjunto:
\begin{equation*}
V = \mathcal{P}_n = \{a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0 : a_i \in \mathbb{R},\ i = 0,\ldots,n\}.
\end{equation*}
Se
\begin{equation*}
p = \sum_{i=0}^n a_i x^i \quad \text{e} \quad q = \sum_{i=0}^n b_i x^i,
\end{equation*}
então definimos a adição de vetores em \(V\) por:
\begin{equation*}
p + q = \sum_{i=0}^n (a_i + b_i)x^i.
\end{equation*}
Se \(\alpha \in \mathbb{R}\text{,}\) então a multiplicação por escalar em \(V\) é definida por:
\begin{equation*}
\alpha p = \sum_{i=0}^n (\alpha a_i)x^i.
\end{equation*}
O elemento neutro de \(V\) é o polinômio nulo \(0 = 0x^n + \cdots + 0x + 0\text{.}\)
