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Álgebra Linear NI

Daniel Cassimiro, Ricardo Machado

Seção 2.1 Sistemas Lineares

Definição 2.1.1.

Um sistema de equações lineares com \(m\) equações e \(n\) incógnitas é um sistema de equações da forma
\begin{equation} \begin{cases} a_{11}x_1 +\amp a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 +\amp a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \vdots\hspace{1cm}\vdots\amp\hspace{2.1cm}\vdots\hspace{0.4cm}\hspace{0.6cm}\vdots\\ a_{m1}x_1 +\amp a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m, \end{cases}\tag{2.1.1} \end{equation}
onde \(a_{ij}\) são números reais, para \(i=1,\ldots,m\) e \(j=1,\ldots,n\text{,}\) chamados de coeficientes do sistema, \(x_1,\ldots,x_n\) são chamadas de incógnitas e \(b_1,\ldots,b_m\) são chamados de termos independentes.

Nota 2.1.2.

  1. Uma solução de (2.1.1) é uma \(n\)-upla \((x_1,\ldots,x_n)\) que satisfaça as \(m\) equações.
  2. O conjunto solução de um sistema linear é o conjunto \(\mathcal S\) de todas as soluções do sistema.
  3. Dois sistemas de equações lineares são ditos equivalentes se possuem o mesmo conjunto solução.

Exemplo 2.1.3.

Considere o sistema de equações lineares com 3 equações e 3 incógnitas
\begin{equation*} \begin{cases} x_1+4x_2+3x_3 \amp= 1\\ 2x_1 + 5x_2 + 4x_3 \amp= 4\\ x_1-3x_2-2x_3 \amp= 5 \end{cases} \end{equation*}
Verifique se \((x_1,x_2,x_3) = (3,-2,2)\) é solução do sistema dado
Solução.
Substituindo \(x_1=3, x_2 = -2\) e \(x_3 = 2\) no sistema, obtemos
\begin{equation*} \begin{cases} 1\cdot 3 + 4\cdot(-2) + 3\cdot 2 \amp= 1\\ 2\cdot 3 + 5\cdot (-2) + 4\cdot 2 \amp= 4\\ 1\cdot 3 + (-3)\cdot (-2) -2\cdot 2 \amp= 5. \end{cases} \end{equation*}
Como as três equações são satisfeitas, \((3,-2,2)\) é solução do sistema dado.

Nota 2.1.4.

Veremos adiante que trata-se da única solução deste sistema, de modo que o conjunto solução do sistema é \(\mathcal S = \{(3,-2,2)\}\text{.}\)
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