Ir ao conteúdo principal ☰ Sumário You! < Anterior ^ Acima Próximo > \(\newcommand{\identity}{\mathrm{id}}
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\)
Seção 4.10 Coordenadas
Teorema 4.10.1 .
Seja \(V\) espaço vetorial e \(B = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) uma base de \(V\text{.}\) Então, dado \(\mathbf{v} \in V\text{,}\) existem únicos \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{R}\) tais que
\begin{equation*}
\mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_n \mathbf{v}_n\text{.}
\end{equation*}
Definição 4.10.2 .
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão \(n\) e \(B = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) uma base de \(V\text{.}\) Dado \(\mathbf{v} \in V\text{,}\) existem únicos \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{R}\) tais que
\begin{equation*}
\mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_n \mathbf{v}_n\text{.}
\end{equation*}
Os números \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) são denominados de coordenadas de \(\mathbf{v}\) em relação à base \(B\) e são denotados por
\begin{equation*}
[\mathbf{v}]_B =
\begin{bmatrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_n
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Exemplo 4.10.3 .
Seja \(B = \{t^2, t+1, t-1\}\) uma base para \(\mathcal{P}_2\text{.}\) Determine as coordenadas de
\begin{equation*}
p = t^2 - 3t + 1
\end{equation*}
em relação à base \(B\text{.}\)
Solução . As coordenadas de
\(p\) na base
\(B\) são os únicos números
\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R}\) tais que
\begin{equation*}
t^2 - 3t + 1 = \alpha_1 t^2 + \alpha_2 (t+1) + \alpha_3 (t-1)\text{,}
\end{equation*}
ou seja,
\begin{equation*}
t^2 - 3t + 1 = \alpha_1 t^2 + (\alpha_2 + \alpha_3) t + (\alpha_2 - \alpha_3)\text{.}
\end{equation*}
Temos, então, o sistema
\begin{equation*}
\begin{cases}
\alpha_1 \amp = \amp 1 \\
\alpha_2 + \alpha_3 \amp = \amp -3 \\
\alpha_2 - \alpha_3 \amp = \amp 1
\end{cases}
\end{equation*}
Logo,
\(\alpha_1 = 1, \alpha_2 = -1, \alpha_3 = -2\text{.}\)
Portanto, as coordenadas de \(p\) na base \(B\) são dadas por
\begin{equation*}
[p]_B =
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
-2
\end{array}
\right]\text{.}
\end{equation*}
