Seção 6.1 Autovalores e Autovetores
Definição 6.1.1. Autovetor de um Operador Linear.
Seja
\(V\) um espaço vetorial
1 e
\(T:V\to V\) um operador linear. Dizemos que um vetor não-nulo
\(\mathbf{v}\in V\) é um
autovetor de
\(T\) se existir
\(\lambda\in \mathbb R\) tal que
\begin{equation*}
T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}.
\end{equation*}
O escalar \(\lambda\) é chamado de autovalor de \(T\) associado ao autovetor \(\mathbf{v}\text{.}\)
Exemplo 6.1.3.
Seja \(T:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\) dado por
\begin{equation*}
T(x,y) = (x+2y,3x+2y).
\end{equation*}
Determine se os seguintes vetores abaixo são autovetores de \(T\text{.}\) Em caso afirmativo, exiba o autovalor associado.
(i) \(\mathbf{u} = (1,-1)\)
(ii) \(\mathbf{v} = (2,3)\)
(iii) \(\mathbf{w} = (1,2)\)
Solução.
Basta verificar a definição para cada um dos vetores dados. Vejamos:
-
(i) Se \(\mathbf{u} = (1,-1)\text{,}\) então
\begin{equation*}
T(\mathbf{u}) = T(1,-1) = (1-2,3-2) = (-1,1) = (-1)\cdot (1,-1) = (-1) \mathbf{u}.
\end{equation*}
Logo, \(\mathbf{u}\) é autovetor com autovalor associado \(\lambda = -1\text{.}\)
-
(ii) Se \(\mathbf{v} = (2,3)\text{,}\) então
\begin{equation*}
T(\mathbf{v}) = T(2,3) = (2+6,6+6) = (8,12) = 4\cdot (2,3) = 4 \mathbf{v}.
\end{equation*}
Logo, \(\mathbf{v}\) é autovetor com autovalor associado \(\lambda = 4\text{.}\)
-
(iii) Se \(\mathbf{w} = (1,2)\text{,}\) então
\begin{equation*}
T(\mathbf{w}) = T(1,2) = (1+4,3+4) = (5,7).
\end{equation*}
Logo, não existe \(\lambda\in\mathbb R\) tal que \(T(\mathbf{w}) = \lambda \mathbf{w}\text{.}\)
Definição 6.1.4. Autovetor de uma Matriz.
Seja
\(\mathbf{A}\in\mathcal M_{n\times n}\) uma matriz
2 . Dizemos que um vetor não-nulo
\(\mathbf{v}\in \mathcal M_{n\times 1}\) é um
autovetor de
\(\mathbf{A}\) se existir
\(\lambda\in \mathbb R\) tal que
\begin{equation*}
\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}.
\end{equation*}
O escalar \(\lambda\) é chamado de autovalor de \(\mathbf{A}\) associado ao autovetor \(\mathbf{v}\text{.}\)
Exemplo 6.1.6.
Seja \(\mathbf{A}\in \mathcal M_{3\times 3}\) dada por
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -1 \amp 0\\
2 \amp 3 \amp 2\\
1 \amp 1 \amp 2
\end{array}\right].
\end{equation*}
Determine se os seguintes vetores coluna abaixo são autovetores de \(\mathbf{A}\text{.}\) Em caso afirmativo, exiba o autovalor associado.
Solução.
Basta verificar a definição para cada um dos vetores dados. Vejamos:
-
(i) Sendo \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} -2 \amp 2 \amp 1\end{bmatrix}^T\text{,}\)
\begin{equation*}
\mathbf{A}\mathbf{u} = \left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -1 \amp 0\\
2 \amp 3 \amp 2\\
1 \amp 1 \amp 2
\end{array}\right]
\left[
\begin{array}{r}
-2\\
2\\
1
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{r}
-4\\
4\\
2
\end{array}
\right] =
2\left[
\begin{array}{r}
-2\\
2\\
1
\end{array}
\right] = 2\mathbf{u}.
\end{equation*}
Logo, \(\mathbf{u}\) é autovetor de \(\mathbf{A}\) com autovalor associado \(\lambda = 2\text{.}\)
-
(ii) Sendo \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \amp 1 \amp 0\end{bmatrix}^T\text{,}\)
\begin{equation*}
\mathbf{A}\mathbf{v} = \left[
\begin{array}{rrr}
1 \amp -1 \amp 0\\
2 \amp 3 \amp 2\\
1 \amp 1 \amp 2
\end{array}\right]
\left[
\begin{array}{r}
1\\
1\\
0
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{r}
0\\
5\\
2
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Logo, \(\mathbf{v}\) não é autovetor de \(\mathbf{A}\text{.}\)
Subseção 6.1.1 Propriedades dos autovetores
Teorema 6.1.7. Propriedades dos autovetores.
Seja \(V\) espaço vetorial, \(T:V\to V\) operador linear e \(\lambda\) um autovalor de \(T\text{.}\) Então,
-
(i) se \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) são autovetores de \(T\) associados à \(\lambda\text{,}\) então \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\) também é autovetor associado à \(\lambda\text{.}\)
Demonstração.
Com efeito, \(T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{u} + \lambda\mathbf{v} = \lambda(\mathbf{u} + \mathbf{v})\text{.}\)
-
(ii) se \(\mathbf{u}\) é autovetor de \(T\) associado à \(\lambda\) e \(\alpha\in\mathbb R\text{,}\) então \(\alpha\mathbf{u}\) também é autovetor associado à \(\lambda\text{.}\)
Demonstração.
De fato, \(T(\alpha\mathbf{u}) = \alpha T(\mathbf{u})= \alpha(\lambda \mathbf{u}) = \lambda(\alpha\mathbf{u})\text{.}\)
Definição 6.1.8. Autoespaço associado a um autovalor.
Sejam \(V\) espaço vetorial, \(T:V\to V\) operador linear e \(\lambda\) um autovalor de \(T\text{.}\) Definimos o autoespaço de T associado à \(\lambda\) como o conjunto
\begin{equation*}
E_\lambda = \{\mathbf{v}\in V: T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}\}.
\end{equation*}
Subseção 6.1.2 Multiplicidades algébrica e geométrica
Definição 6.1.10. Multiplicidades algébrica e geométrica.
Sejam \(V\) espaço vetorial, \(T:V\to V\) operador linear e \(\lambda\) um autovalor de \(T\text{.}\)
Exemplo 6.1.12.
Considere o operador linear \(T:\mathbb R^3\to \mathbb R^3\) dado por
\begin{equation*}
T(x,y,z) = (x+y+z,2y+z,2y+3z).
\end{equation*}
Determine as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores de \(T\text{.}\)
Solução.
Vimos, no
Exemplo 6.2.4, que o polinômio característico de
\(T\) é dado por
\begin{equation*}
p_T(t) = (t-1)^2(t-4).
\end{equation*}
Assim,
\begin{equation*}
\mu_T(1) = \max\{m:p_T(t) = (t-1)^m h(t),h(t)\in\mathbb R[t]\} = 2
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
\mu_T(4) = \max\{m:p_T(t) = (t-4)^m h(t),h(t)\in\mathbb R[t]\} = 1,
\end{equation*}
pois \(\lambda=1\) possui multiplicidade 2 como raiz de \(p_T(t)\) e \(\lambda = 4\) possui multiplicidade 1 como raiz de \(p_T(t)\text{.}\)
Por outro lado, vimos no Exemplo 1.5 que os autoespaços associados à \(\lambda =1\) e \(\lambda = 4\) são dados, respectivamente por
\begin{equation*}
E_1 = \{(x,y,-y):x,y\in\mathbb R\}
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
E_4 = \{(x,x,2x):x\in\mathbb R\}.
\end{equation*}
Note que \(E_1 = \langle (1,0,0), (0,1,-1)\rangle\) e \(E_4 = \langle (1,1,2) \rangle\text{.}\) Resulta que \(\gamma_T(1) = \dim(E_1) = 2\) e \(\gamma_T(4) = \dim(E_4) = 1\text{.}\)
Salvo menção em contrário, todos os espaços vetoriais considerados neste material possuem dimensão finita e estão sobre o corpo dos reais.
Salvo menção em contrário, todas as matrizes consideradas neste material terão entradas reais
Um subespaço vetorial \(W\) de \(V\) é qualquer subconjunto \(W\subset V\) tal que \(\mathbf{0}\in W\) e \(\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}\in W\) para todos \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in W\) e todos \(\alpha,\beta\in\mathbb R\text{.}\)
Formalmente, \(\mu_T(\lambda) = \max\{m:p_T(t) = (t-\lambda)^m h(t), h(t)\in \mathbb R[t]\}\)
