Indicamos o item da
Proposição 3.1.8 que foi utilizado em algumas da igualdades. Multiplicando a segunda coluna por
\((-2)\) e somando à primeira, obtemos
\begin{align*}
\det(\mathbf{A}) =
\begin{vmatrix}
-1 \amp 2 \amp 3 \amp -4 \\
4 \amp 2 \amp 0 \amp 0 \\
-1 \amp 2 \amp -3 \amp 0 \\
2 \amp 5 \amp 3 \amp 1
\end{vmatrix}
\overset{\text{(vii.)}}{=}
\begin{vmatrix}
-5 \amp 2 \amp 3 \amp -4 \\
0 \amp 2 \amp 0 \amp 0 \\
-5 \amp 2 \amp -3 \amp 0 \\
-8 \amp 5 \amp 3 \amp 1
\end{vmatrix}
\end{align*}
Usando o desenvolvimento de Laplace para a segunda linha da matriz, temos que
\begin{align*}
\det(\mathbf{A}) =
\begin{vmatrix}
-5 \amp 2 \amp 3 \amp -4 \\
0 \amp 2 \amp 0 \amp 0 \\
-5 \amp 2 \amp -3 \amp 0 \\
-8 \amp 5 \amp 3 \amp 1
\end{vmatrix}
=
2(-1)^{2+2}
\begin{vmatrix}
-5 \amp 3 \amp -4 \\
-5 \amp -3 \amp 0 \\
-8 \amp 3 \amp 1
\end{vmatrix}
\end{align*}
Multiplicando cada linha da matriz por
\((-1)\text{,}\) obtemos
\begin{align*}
\det(\mathbf{A}) = 2(-1)^{2+2}
\begin{vmatrix}
-5 \amp 3 \amp -4 \\
-5 \amp -3 \amp 0 \\
-8 \amp 3 \amp 1
\end{vmatrix}
\overset{\text{(iii.)}}{=}
-2
\begin{vmatrix}
5 \amp -3 \amp 4 \\
5 \amp 3 \amp 0 \\
8 \amp -3 \amp -1
\end{vmatrix}
\end{align*}
Somando a segunda linha à primeira e à terceira, vem que
\begin{align*}
\det(\mathbf{A}) = -2
\begin{vmatrix}
5 \amp -3 \amp 4 \\
5 \amp 3 \amp 0 \\
8 \amp -3 \amp -1
\end{vmatrix}
\overset{\text{(vii.)}}{=}
-2
\begin{vmatrix}
10 \amp 0 \amp 4 \\
5 \amp 3 \amp 0 \\
13 \amp 0 \amp -1
\end{vmatrix}
\end{align*}
Usando o desenvolvimento de Laplace para a segunda coluna da matriz, temos que
\begin{align*}
\det(\mathbf{A}) =\amp -2
\begin{vmatrix}
10 \amp 0 \amp 4 \\
5 \amp 3 \amp 0 \\
13 \amp 0 \amp -1
\end{vmatrix}\\
=\amp (-2)(3)(-1)^{2+2}
\begin{vmatrix}
10 \amp 4 \\
13 \amp -1
\end{vmatrix}\\
=\amp -6(-10-52) \\
=\amp 372
\end{align*}
