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Álgebra Linear NI

Daniel Cassimiro, Ricardo Machado

Seção 4.9 Exercícios

Exercícios Exercícios

1.

O vetor \(5 + 3x +2x^2 \in \mathcal{P}_2[x](\mathbb{R})\) é combinação linear dos vetores \(1+ x + x^2\) e \(3+ x\text{?}\)

2.

Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
  1. \(S=\{(1,\,1,\,0),\,(1,\,0,\,1),\,(0,\,1,\,1)\}\subset \mathbb{R}^3\text{.}\)
  2. \(S=\{1+2x,\, x+ x^3,\, x^2+ x^3 \}\subset \mathcal{P}_3[x] (\mathbb{R})\text{.}\)
  3. \(S=\left\{ \left[\begin{array}{rr} 1 \amp 0 \\ 1 \amp 1 \end{array}\right],\, \left[\begin{array}{rr} -1 \amp 2 \\ 0 \amp 1 \end{array}\right],\, \left[\begin{array}{rr} 0 \amp -1 \\ 2 \amp 1 \end{array}\right],\, \left[\begin{array}{rr} 1 \amp 8 \\ 0 \amp 5 \end{array}\right]\right\}\text{.}\)
  4. \(S= \{(-1,\,1,\,0),\,(0,\,1,\,-2),\,(-2,\,3,\,1)\}\subset \mathbb{R}^3\text{.}\)
  5. \(S=\{(1,\,2,\,-1),\,(-1,\,1,\,0),\,(-3,\,0,\,1),\,(-2,\,-1,\,1) \}\subset \mathbb{R}^3\text{.}\)
  6. \(S=\{2x+2,\, -x^2 + x+3,\,x^2 + 2x\}\subset \mathcal{P}_2[x](\mathbb{R})\text{.}\)

3.

Considere \(S\) o subespaço de \(\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\) descrito por
\(S =\left\{ \left[\begin{array}{rr} a-b \amp 2a \\ a+b \amp -b \end{array}\right] \;\bigg|\; a,\,b\in \mathbb{R} \right\}\text{.}\)
  1. \(\left[\begin{array}{rr} 5 \amp 6 \\ 1 \amp 2 \end{array}\right] \in S\text{?}\)
  2. Encontre um valor para \(k\) de forma que o vetor \(\left[\begin{array}{rr} -4 \amp k \\ 2 \amp -3 \end{array}\right]\) pertença a \(S\text{.}\)

4.

Considere os vetores \(v_1 = (1,\,1,\,1),\,v_2 = (1,\,2,\,0)\) e \(v_3 = (1,\,3,\,-1)\text{.}\) Se \((3,\,-1,\,k) \in [v_1 ,\, v_2 ,\, v_3]\) (espaço gerado pelos vetores \(v_1,\,v_2\) e \(v_3\)), qual o valor de \(k\text{?}\)

5.

Mostre que os vetores \(v_1= (1,\,1,\,1),\,v_2 = (0,\,1,\,1)\) e \(v_3=(0,\,0,\,1)\) geram o espaço euclidiano \(\mathbb{R}^3\text{.}\)

6.

Verifique que o vetor \(w=(-1,\,-3,\,2,\,0)\) pertence ao subespaço de \(\mathbb{R}^4\) gerado pelos vetores \(v_1=(2,\,-1,\,3,\,0),\,v_2=(1,\,0,\,1,\,0)\) e \(v_3=(0,\,1,\,-1,\,0)\text{.}\)

7.

Mostre que \(\left\{ \left[\begin{array}{rr} 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \end{array}\right],\, \left[\begin{array}{rr} 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \end{array}\right],\, \left[\begin{array}{rr} 0 \amp 0 \\ 1 \amp 0 \end{array}\right],\, \left[\begin{array}{rr} 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \end{array}\right]\right\}\) é base de \(\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\text{.}\)

8.

Determine uma base para o espaço vetorial das matrizes \(n\times n\text{.}\) Qual a dimensão deste espaço?

9.

Determine uma base para \(\mathcal{P}_n[x](\mathbb{R})\text{.}\) Qual a dimensão deste espaço?

10.

Mostre que o conjunto \(\{(1,\,1,\,0,\,0),\,(0,\,0,\,1,\,1),\,(1,\,0,\,0,\,3),\,(0,\,0,\,0,\,5)\}\) é base de \(\mathbb{R}^4\text{.}\)

11.

Mostre que os polinômios \(1-t^3,\, (1-t)^2,\,1-t\) e \(1\) formam uma base para o espaço dos polinômios de grau ≤ 3 na variável \(t\text{.}\)

12.

Mostre que os vetores \(v_1= (1,\,1,\,1),\,v_2=(1,\,2,\,3),\,v_3=(3,\,0,\,2)\) e \(v_4= (2,\,-1,\,1)\) geram o espaço \(\mathbb{R}^3\) e encontre uma base dentre os vetores \(v_1,\,v_2,\,v_3\) e \(v_4\text{.}\)

13.

Seja \(V=\mathbb{R}^3\) e o conjunto \(B=\{(0,\,1,\,1),\,(1,\,1,\,0),\,(1,\,2,\,1)\} \subset \mathbb{R}^3\text{.}\)
  1. Mostre que \(B\) não é base de \(\mathbb{R}^3\text{.}\)
  2. Determine uma base de \(\mathbb{R}^3\) que possua dois elementos de \(B\text{.}\)

14.

Sejam os vetores \(v_1=(1,\,0,\,-1),\,v_2=(1,\,2,\,1)\) e \(v_3=(0,\,-1,\,0)\) do espaço euclidiano \(\mathbb{R}^3\text{.}\)
  1. Mostre que \(B=\{v_1,\,v_2,\,v_3 \}\) é base de \(\mathbb{R}^3\text{.}\)
  2. Escreva \(e_1 = (1,\,0,\,0),\,e_2=(0,\,1,\,0),\,e_3=(0,\,0,\,1)\) como combinação linear dos vetores da base \(B\text{.}\)

15.

Seja \(S= \left\{\begin{bmatrix} a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix} \;\big|\; c=a+b,\, d=a \right\} \subset \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\text{.}\)
  1. Qual a dimensão de \(S\text{?}\)
  2. O conjunto \(\left\{\begin{bmatrix} 1 \amp -1 \\ 0 \amp 1 \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 2 \amp 1 \\ 3 \amp 4 \end{bmatrix}\right\}\) é uma base de \(S\text{?}\)

16.

Seja \(V\) o espaço das matrizes \(2\times 2\) sobre \(\mathbb{R}\) e seja \(W\) o subespaço gerado por
\(\left\{\begin{bmatrix} 1 \amp -5 \\ -4 \amp 2 \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 1 \amp 1 \\ -1 \amp 5 \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 2 \amp -4 \\ -5 \amp 7 \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 1 \amp -7 \\ -5 \amp 1 \end{bmatrix}\right\}\text{.}\)
Determine uma base para \(W\) e sua dimensão.

17.

Considere o subespaço de \(\mathbb{R}^4\) gerado pelos vetores \(v_1=(1,\,-1,\,0,\,0),\, v_2=(0,\,0,\,1,\,1),\, v_3=(-2,\,2,\,1,\,1)\) e \(v_4=(1,\,0,\,0,\,0)\text{.}\)
  1. O vetor \((2,\,-3,\,2,\,2) \in [v_1,\,v_2,\,v_3,\,v_4]\text{?}\)
  2. Exiba uma base para \([v_1,\,v_2,\,v_3,\,v_4]\) e determine sua dimensão.
  3. \([v_1,\,v_2,\,v_3,\,v_4] = \mathbb{R}^4\text{?}\)

18.

Considere o sistema linear
\((\star )= \left\{\begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 \amp + \amp 4x_2 \amp - \amp 6x_3 \amp = \amp a \\ x_1 \amp - \amp x_2 \amp + \amp 4x_3 \amp = \amp b \\ \amp \amp 6x_2 \amp - \amp 14x_3 \amp = \amp c \end{array}\right.\)
Seja \(W=\{(x_1,\,x_2,\,x_3)\in \mathbb{R}^3 \mid (x_1,\,x_2,\,x_3)\, \text{é solução de }(\star)\}\text{.}\)
  1. Que condições devemos impor a \(a,\,b,\,c\) para que \(W\) seja subespaço de \(\mathbb{R}^3\text{?}\)
  2. Encontre uma base para \(W\text{.}\)
  3. Qual a relação entre a dimensão de \(W\) e o grau de liberdade do sistema?

19.

Definimos \(W_1\oplus W_2 = \{ w_1 + w_2 \mid w_1 \in W_1,\, w_2 \in W_2,\, W_1 \cap W_2 = \{\underline{0}\} \}\) como a soma direta dos subespaços \(W_1\) e \(W_2\text{.}\) Se
\(W_1=\{(x,\,y,\,z,\,t)\in \mathbb{R}^4 \mid x+y=0,\, z-t=0\}\) e \(W_2=\{(x,\,y,\,z,\,t)\in \mathbb{R}^4 \mid x-y-z=0\}\text{.}\)
  1. Exiba uma base para \(W_1\) e \(W_2\text{.}\)
  2. Exiba uma base para \(W_1 \cap W_2\text{.}\)
  3. Exiba uma base para \(W_1 + W_2\text{.}\)
  4. \(W_1 + W_2\) é soma direta?
  5. \(W_1 + W_2 = \mathbb{R}^4\text{?}\)

20.

Sejam \(W_1 = \left\{ \begin{bmatrix} a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix} \mid a=d,\, b=c \right\}\) e \(W_2 = \left\{ \begin{bmatrix} a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix} \mid a=c,\, b=d \right\}\) subespaços de \(\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\text{.}\)
  1. Determine \(W_1 \cap W_2\) e exiba uma base.
  2. Determine \(W_1 + W_2\text{.}\) Tal soma é direta? Vale \(W_1 + W_2 = \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\text{?}\)
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