No espaço euclidiano \(\mathbb{R}^n\text{,}\) defina duas operações
\begin{gather*}
u \oplus v = u - v, \quad \forall u,v \in \mathbb{R}^n \\
k \cdot u = -k u, \quad \forall k \in \mathbb{R},\, u \in \mathbb{R}^n
\end{gather*}
As operações à direita de ambas as igualdades são as usuais do \(\mathbb{R}^n\text{.}\) Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por \((\mathbb{R}^n, \oplus, \cdot)\text{?}\)
2.
Considere o conjunto \(V=\{(x,y); x,y\in \mathbb{R}\}\) e as seguintes operações
Dica: Use a equação matricial do sistema. O que podemos dizer se o sistema não for homogêneo?
4.
Considere o espaço vetorial sobre \(\mathbb{R}\text{,}\)\(V=\mathbb{R}^3\text{.}\) Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de \(V\text{:}\)
\(\displaystyle S = \{ (x,y,z) \,;\, x = 2y + z \text{ e } y = x + 3z \}\)
\(\displaystyle S = \{ (x,y,z) \,;\, x = y + 1 \text{ e } z = 0 \}\)
\(\displaystyle S = \{ (x,y,z) \,;\, y = 0 \text{ e } z = 3x \}\)
5.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre \(\mathbb{R}\text{:}\)
\(\displaystyle S = \{ ax^3 + bx^2 + cx + d \in \mathcal{P}_3[x](\mathbb{R}) \,;\, a+b+c+d=0, b=2c, a=3d \}\)
\(\displaystyle S \subset \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\text{, onde } S \text{ é o conjunto das matrizes simétricas}\)
O conjunto dos vetores de \(\mathbb{R}^n\) cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
O conjunto dos vetores de \(\mathbb{R}^n\) cujas primeiras \(k\) coordenadas são iguais.
O conjunto dos vetores de \(\mathbb{R}^n\) que têm \(k\) coordenadas iguais.
O conjunto das retas no espaço euclidiano \(\mathbb{R}^3\text{.}\)
O conjunto das retas que passam na origem no espaço euclidiano \(\mathbb{R}^3\text{.}\)
6.
Considere \(V\) espaço vetorial sobre \(\mathbb{R}\text{.}\) Assuma que \(S_1\) e \(S_2\) são subespaços vetoriais de \(V\text{.}\) Mostre que
\(S_1 \cup S_2\) é subespaço vetorial de \(V\) se, e somente se, \(S_1 \subset S_2\) ou \(S_2 \subset S_1\text{.}\)
7.
Sejam \(W_1\) e \(W_2\) subespaços de um espaço vetorial \(V\) tal que \(V = W_1 + W_2\) e \(W_1 \cap W_2 = \underline{0}\text{.}\) Prove que para cada vetor \(v \in V\text{,}\) existe um único \(w_1 \in W_1\) e \(w_2 \in W_2\) tal que \(v = w_1 + w_2\text{.}\)
