UFRPE-DM O polinômio minimal

Seção 6.7 O polinômio minimal

Definição 6.7.1. O polinômio minimal de um operador linear.

Seja \(T:V \to V\) um operador linear. O polinômio minimal de \(T\) é o polinômio \(m_T(t) \in \mathbb{R}[t]\) que satisfaz as seguintes condições:

\(m_T(t)\) é mônico;
\(m_T(T) = 0\text{;}\)
Se \(q(T) = 0\text{,}\) então \(\text{grau}(m_T) \leq \text{grau}(q)\text{.}\)

Nota 6.7.2.

A definição de um polinômio minimal de uma matriz \(\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{n\times n}\) é análoga e será omitida aqui.

Teorema 6.7.3.

Seja \(m_T(t)\) o polinômio minimal e \(p_T(t)\) o polinômio característico de um operador linear \(T:V \to V\text{.}\) Então, \(m_T(t)\) divide \(p_T(t)\text{.}\)

Teorema 6.7.4.

Sejam \(V\) espaço vetorial e \(T:V \to V\) um operador linear. Então \(\lambda\) é autovalor de \(T\) se, e somente se, \(\lambda\) é raiz de \(m_T(t)\text{.}\)

Mais ainda, \(p_T\) e \(m_T\) possuem os mesmos fatores irredutíveis. Este fato mais geral não será demonstrado aqui.

Nota 6.7.5. Observações.

Sejam \(p_T(t)\) e \(m_T(t)\) o polinômio característico e o polinômio minimal de um operador linear \(T:V \to V\text{,}\) respectivamente. Se \([T]_{\mathcal{B}}\) é a matriz de \(T\) com respeito à alguma base \(\mathcal{B}\text{,}\) então o polinômio característico de \(T\) é dado por

\begin{gather*} p_T(t) = \det(tI - [T]_{\mathcal{B}}). \end{gather*}

Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, \(m_T(t)\) divide \(p_T(t)\) e, além disso, pelo Teorema 6.7.4 , \(m_T(t)\) e \(p_T(t)\) possuem as mesmas raízes. Embora não haja um método para calcular precisamente as raízes de um polinômio (exceto no caso de seu grau ser pequeno), se \(p_T(t)\) puder ser fatorado como

\begin{gather*} p_T(t) = (t-\lambda_1)^{r_1}\cdots (t-\lambda_k)^{r_k}, \end{gather*}

onde \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) são reais distintos e \(r_i \geq 1\text{,}\) então

\begin{gather*} m_T(t) = (t-\lambda_1)^{s_1}\cdots (t-\lambda_k)^{s_k},\quad 1\leq s_i\leq r_j. \end{gather*}

Exemplo 6.7.6.

Seja \(T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) dado por

\begin{gather*} T(x,y,z) = (x+y+z,2y+z,2y+3z). \end{gather*}

Determine o polinômio minimal de \(T\text{.}\)

Solução.

Vimos, no Exemplo 6.2.4 , que o polinômio característico de \(T\) é

\begin{gather*} p_T(t) = (t-1)^2(t-4). \end{gather*}

Assim, temos duas possibilidades para o polinômio minimal de \(T\text{:}\)

\begin{gather*} m_1(t) = (t-1)(t-4) \end{gather*}

\begin{gather*} m_2(t) = (t-1)^2(t-4). \end{gather*}

Tomando \(\mathcal{E}\) como a base canônica de \(\mathbb{R}^3\text{,}\) temos que

\begin{align*} [T]_{\mathcal{E}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \end{align*}

Assim,

\begin{align*} m_1([T]_{\mathcal{E}}) &= ([T]_{\mathcal{E}} - \mathbf{I})([T]_{\mathcal{E}} - 4\mathbf{I})\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Assim, \(m_1(t)\) é o polinômio minimal de \(T\text{.}\)

Teorema 6.7.7.

Sejam \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r\) todos os autovalores distintos de um operador linear \(T\text{.}\) Então, \(T\) será diagonalizável se, e somente se, o polinômio

\begin{equation*} (t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots(t-\lambda_r) \end{equation*}

anular \(T\) (ou a a matriz de \(T\)).

Exemplo 6.7.8.

Seja \(T:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R}^3\) definido por \(T(x,y,z) = (2x-z, 2y+2z, -z)\text{.}\) \(T\) é diagonalizável?

Tecnologia 6.7.9.

Obtendo o polinômio minimal

Tecnologia 6.7.10.

Obtendo as matrizes \(D, P^{-1}\) e \(P\text{,}\) tais que \(D = P^{-1}AP.\)

Álgebra Linear NI

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