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Álgebra Linear NI

Daniel Cassimiro, Ricardo Machado

Seção 4.2 Subespaços Vetoriais

Definição 4.2.1. Subespaços vetoriais.

Seja \(V\) um espaço vetorial real e \(W\) um subconjunto não-vazio de \(V\text{.}\) Dizemos que \(W\) é um subespaço vetorial de \(V\) se:
  1. Para todos \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\text{,}\) tem-se que \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W\text{.}\)
  2. Para todo \(\mathbf{u} \in W\) e todo \(\alpha \in \mathbb{R}\text{,}\) \(\alpha \mathbf{u} \in W\text{.}\)

Nota 4.2.2.

Se \(W \subset V\) é um subespaço vetorial de \(V\text{,}\) então:
  • As condições i. e ii. implicam que, ao operarmos em \(W\text{,}\) permanecemos em \(W\text{.}\) Nesse sentido, \(W\) é um espaço vetorial contido em \(V\text{.}\) No entanto, não é necessário verificar os axiomas i. à viii. de um espaço vetorial para \(W\text{,}\) pois estes já foram verificados para \(V\text{.}\)
  • Tem-se que \(\mathbf{0} \in W\text{,}\) qualquer que seja o subespaço vetorial \(W\text{.}\)
  • Todo espaço vetorial \(V\) admite ao menos dois subespaços triviais: \(W = \{\mathbf{0}\}\) e \(W = V\text{.}\)

Exemplo 4.2.3.

Considere o espaço vetorial real \(\mathcal{M}_{2 \times 2}\) das matrizes \(2 \times 2\text{.}\) Seja
\begin{equation*} W = \left\{ \begin{bmatrix} a \amp 0 \\ 0 \amp d \end{bmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 2} : a,d \in \mathbb{R} \right\}. \end{equation*}
Mostre que \(W\) é um subespaço vetorial de \(\mathcal{M}_{2 \times 2}\text{.}\)
Solução.
Note que \(W \neq \varnothing\text{,}\) pois \(\mathbf{0} \in W\text{.}\) Sejam
\begin{align*} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_1 \amp 0 \\ 0 \amp d_1 \end{bmatrix} \quad \text{e} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_2 \amp 0 \\ 0 \amp d_2 \end{bmatrix}. \end{align*}
Então,
\begin{align*} \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_1 \amp 0 \\ 0 \amp d_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_2 \amp 0 \\ 0 \amp d_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + a_2 \amp 0 \\ 0 \amp d_1 + d_2 \end{bmatrix}. \end{align*}
Logo, \(\mathbf{A}+\mathbf{B} \in W\text{.}\) Além disso, se \(\alpha \in \mathbb{R}\text{,}\)
\begin{align*} \alpha \mathbf{A} = \alpha \begin{bmatrix} a_1 \amp 0 \\ 0 \amp d_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha a_1 \amp 0 \\ 0 \amp \alpha d_1 \end{bmatrix}. \end{align*}
Logo, \(\alpha \mathbf{A} \in W\text{.}\) Assim, \(W\) é um subespaço vetorial de \(\mathcal{M}_{2 \times 2}\text{.}\)

Exemplo 4.2.4.

Considere o espaço vetorial real \(\mathbb{R}^3\text{.}\) Seja
\begin{gather*} W = \{(x,y,0): x,y \in \mathbb{R}\}. \end{gather*}
Mostre que \(W\) é um subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^3\text{.}\)
Solução.
Note que \(W \neq \varnothing\text{,}\) pois \(\mathbf{0} = (0,0,0) \in W\text{.}\) Sejam \(\mathbf{w}_1 = (x_1,y_1,0)\) e \(\mathbf{w}_2 = (x_2,y_2,0)\text{.}\) Então,
\begin{gather*} \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 = (x_1,y_1,0) + (x_2,y_2,0) = (x_1+x_2, \; y_1+y_2, \; 0). \end{gather*}
Logo, \(\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 \in W\text{.}\) Além disso, se \(\alpha \in \mathbb{R}\text{,}\)
\begin{gather*} \alpha \mathbf{w}_1 = \alpha(x_1,y_1,0) = (\alpha x_1, \; \alpha y_1, \; 0). \end{gather*}
Portanto, \(\alpha \mathbf{w}_1 \in W\text{.}\) Assim, \(W\) é um subespaço vetorial de \(V\text{.}\)

Exemplo 4.2.5.

Considere o espaço vetorial real \(\mathcal{P}_n\text{.}\) Seja
\begin{gather*} W = \{ p \in \mathcal{P}_n : p(x) = p(-x) \}. \end{gather*}
Mostre que \(W\) é um subespaço vetorial de \(\mathcal{P}_n\text{.}\)
Solução.
Note que \(W\) é o subconjunto de \(\mathcal{P}_n\) dos polinômios pares. Além disso, \(W \neq \varnothing\text{,}\) pois o polinômio nulo é par. Sejam \(f, g \in W\text{.}\) Então \(f(x) = f(-x)\) e \(g(x) = g(-x)\text{.}\) Logo,
\begin{gather*} (f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f+g)(x), \end{gather*}
portanto \(f+g \in W\text{.}\) Ainda, se \(\alpha \in \mathbb{R}\text{,}\)
\begin{gather*} (\alpha f)(-x) = \alpha f(-x) = \alpha f(x) = (\alpha f)(x). \end{gather*}
Logo \(\alpha f \in W\text{.}\) Portanto, \(W\) é um subespaço vetorial de \(\mathcal{P}_n\text{.}\)

Exemplo 4.2.6.

Considere o espaço vetorial real \(\mathbb{R}^2\text{.}\) Seja
\begin{gather*} W = \{(x, x^2) : x \in \mathbb{R}\}. \end{gather*}
Mostre que \(W\) não é um subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Solução.
Seja \(\mathbf{u} = (1,1)\) e \(\mathbf{v} = (2,4)\text{.}\) Então, claramente, \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\text{.}\) Porém,
\begin{gather*} \mathbf{u} + \mathbf{v} = (3,5) \notin W. \end{gather*}
Logo, \(W\) não é subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
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