tenha como solução \(x=1,~y=-1 ~\mbox{ e } ~z=2\text{?}\)
8.
Determine as condições que devem ser satisfeitas por \(a, b\) e \(c\) para garantir que o sistema de equações
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{ccccccc}
x \amp + \amp y \amp + \amp z \amp = \amp a \\
x \amp \amp \amp + \amp z \amp = \amp b \\
2x \amp + \amp y \amp + \amp 3z\amp = \amp c
\end{array}\right.
\end{equation*}
seja consistente, isto é, admita ao menos uma solução.
Mostre que existem apenas três tipos de matrizes reduzidas por linhas \(A=\left[\begin{array}{rr}
a \amp b \\
c \amp d \\
\end{array}\right],\) tais que \(a+b+c+d=0.\)
12.
Demonstre que a permutação de duas linhas pode ser obtida por um número finito de operações elementares de outros tipos.
13.
Considere o sistema linear homogêneo \(AX=\underline{0}\text{,}\) em que \(A=\left[\begin{array}{rr}
a \amp b \\
c \amp d \\
\end{array}\right].\) Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se \(a=b=c=d\text{,}\) então todo vetor \(X=(x_1 ,\,x_2 )\) de \(\mathbb{R}^2\) é solução de \(AX=\underline{0};\)
Se \(ad-bc=0\text{,}\) então o sistema \(AX=\underline{0}\) só possui a solução trivial \(x_1 =x_2 =0;\)
Se \(A\neq \underline{0}\) e \(ad-bc=0\text{,}\) então o conjunto das soluções reais de \(AX=\underline{0}\) é uma reta que passa pela origem de \(\mathbb{R}^2.\)
14.
Verificar se os seguintes pontos de \(\mathbb{R}^4\) determinam um hiperplano:
\(P_1 =(2,\,1,\,3,\,0),\,P_2=(1,\,0,\,2,\,5),\,P_3=(1,\,4,\,1,\,2)\) e \(P_4=(0,\,1,\,3,\,2)\text{.}\)
\(P_1=(1,\,0,\,0,\,2),\,P_2=(1,\,3,\,4,\,5),\,P_3=(0,\,2,\,0,\,5)\) e \(P_4=(2,\,1,\,0,\,3)\text{.}\)
Relembrando que um hiperplano em \(\mathbb{R}^4\) é o conjunto de pontos \((z,\,y,\,z,\,w)\in \mathbb{R}^4\) que satisfazem uma equação do tipo
\begin{equation*}
ax+by+cz+dw=0.
\end{equation*}
15.
Usando o método descrito em sala de aula calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo.
