Seção 6.6 Avaliação de um polinômio em um operador linear
Definição 6.6.1.
Considere um polinômio
1 \(f(t) \in \mathbb{R}[t]\) dado por
\begin{gather*}
f(t) = a_rt^r + \cdots + a_1t + a_0.
\end{gather*}
Se \(T:V \to V\) é operador linear, então definimos o operador \(f(T):V \to V\) por
\begin{gather*}
f(T) = a_rT^r + \cdots + a_1T + a_0I,
\end{gather*}
onde \(T^r = \underbrace{T\circ T\circ\cdots\circ T}_{\text{r termos}}\) e \(I:V \to V\) é o operador identidade, definido por \(I(\mathbf{v}) = \mathbf{v}\) para todo \(\mathbf{v} \in V\text{.}\) Tem-se, para todo \(\mathbf{v} \in V\text{,}\)
\begin{gather*}
f(T)(\mathbf{v}) = a_rT^r(\mathbf{v}) + \cdots + a_1T(\mathbf{v}) + a_0\mathbf{v}.
\end{gather*}
Exemplo 6.6.2.
Seja \(T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) dado por \(T(x,y) = (x-y,x)\text{.}\) Determine o operador \(f(T):\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\text{,}\) onde \(f(t) = 2t^2-t+1\text{.}\)
Solução.
Como \(T(x,y) = (x-y,x)\text{,}\) vem que
\begin{align*}
T^2(x,y) &= T(T(x,y))\\
&= T(x-y,x)\\
&= ((x-y)-x,x-y)\\
&= (-y,x-y).
\end{align*}
Logo,
\begin{align*}
f(T)(x,y) &= 2T^2(x,y) -T(x,y) + I(x,y)\\
&= 2(-y,x-y) - (x-y,x) + (x,y)\\
&= (-y,x-y).
\end{align*}
Assim, \(f(T):\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) é o operador \(f(T)(x,y) = (-y,x-y)\text{.}\)
Definição 6.6.3. Avaliação de um polinômio em uma matriz.
Considere um polinômio \(f(t) \in \mathbb{R}[t]\) dado por
\begin{gather*}
f(t) = a_rt^r + \cdots + a_1t + a_0.
\end{gather*}
Seja \(\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{n\times n}\text{.}\) Definimos a matriz \(f(\mathbf{A}) \in \mathcal{M}_{n\times n}\) pondo
\begin{gather*}
f(\mathbf{A}) = a_r\mathbf{A}^r + \cdots + a_1\mathbf{A} + a_0\mathbf{I},
\end{gather*}
onde \(\mathbf{A}^r = \underbrace{\mathbf{A}\cdot \mathbf{A} \cdots \mathbf{A}}_{\text{r termos}}\) e \(\mathbf{I} \in \mathcal{M}_{n\times n}\) é a matriz identidade.
Exemplo 6.6.4.
Seja \(\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{2\times 2}\) dada por
\begin{align*}
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}
Calcule \(g(\mathbf{A})\) onde \(g(t) = t^2-2t+3\text{.}\)
Solução.
Sendo \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\text{,}\) então
\begin{align*}
\mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}.
\end{align*}
Logo,
\begin{align*}
g(\mathbf{A}) &= \mathbf{A}^2 -2\mathbf{A} + 3\mathbf{I}\\
&= \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{align*}
Teorema 6.6.5.
Sejam \(T:V \to V\) um operador linear e \(f(t) \in \mathbb{R}[t]\text{.}\) Então,
\begin{gather*}
[f(T)]_{\mathcal{B}} = f([T]_{\mathcal{B}}),
\end{gather*}
onde \(\mathcal{B}\) é uma base de \(V\text{.}\)
Exemplo 6.6.6.
Seja \(T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) dado por \(T(x,y) = (x-y,x)\text{.}\) Determine o operador \(f(T):\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\text{,}\) onde \(f(t) = 2t^2-t+1\text{.}\)
Solução.
Seja \(\mathcal{E}\) a base canônica de \(\mathbb{R}^2\text{.}\) Então,
\begin{align*}
[T]_{\mathcal{E}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
[f(T)]_{\mathcal{E}} &= f([T]_{\mathcal{E}})\\
&= 2[T]^2_{\mathcal{E}} -[T]_{\mathcal{E}} + \mathbf{I}\\
&= 2\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
\end{align*}
Logo, \(f(T):\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) é dado por \(f(T)(x,y) = (-y,x-y)\text{.}\)
Teorema 6.6.7.
Sejam \(f(t), g(t) \in \mathbb{R}[t]\text{,}\) \(\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{n\times n}\) e \(c \in \mathbb{R}\text{.}\) Então,
\(\displaystyle (f+g)(\mathbf{A}) = f(\mathbf{A}) + g(\mathbf{A})\)
\(\displaystyle (fg)(\mathbf{A}) = f(\mathbf{A})g(\mathbf{A})\)
\(\displaystyle (cf)(\mathbf{A}) = c \cdot f(\mathbf{A})\)
\(\displaystyle f(\mathbf{A})g(\mathbf{A}) = g(\mathbf{A})f(\mathbf{A})\)
Teorema 6.6.9. (Teorema de Cayley-Hamilton).
Seja \(T:V \to V\) operador linear. Se \(p_T(t)\) é o polinômio característico de \(T\text{,}\) então \(p_T(T) = 0\text{.}\)
Aqui \(\mathbb{R}[t]\) denota o anel de polinômios com coeficientes reais.
