Teorema 3.4.1. (Regra de Cramer).
Considere um sistema de equações lineares \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\text{,}\) onde \(\mathbf{A} = (a_{ij})_{n\times n}\) é a matriz dos coeficientes do sistema e \(\mathbf{x} = (x_i)_{n\times 1}, \mathbf{b} = (b_i)_{n\times 1}\) são os vetores de incógnitas e dos termos independentes, respectivamente.Então, o sistema admite uma única solução se, e somente se, \(\det(\mathbf{A}) \neq 0\text{.}\) Neste caso, \(\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\text{,}\) onde
\begin{gather*}
x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}, \quad i = 1,\ldots,n
\end{gather*}
onde \(\mathbf{A}_i\) é a matriz obtida substituindo-se a \(i\)-ésima coluna de \(\mathbf{A}\) pelo vetor \(\mathbf{b}\text{.}\)
