São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz:
Permutação de linhas. Nesta operação, permutam-se a \(i\)-ésima e \(j\)-ésima linhas de uma matriz. Indicaremos esta operação pela notação \(L_i \leftrightarrow L_j\text{,}\) na qual \(L_i\) indica a \(i\)-ésima linha da matriz. Por exemplo,
Multiplicação de linha. Nesta operação, multiplica-se a \(i\)-ésima linha de uma matriz por um número real \(c\text{.}\) Indicaremos esta operação pela notação \(L_i \rightarrow cL_i\text{,}\) na qual \(L_i\) indica a \(i\)-ésima linha da matriz. Por exemplo,
Adição de linhas. Nesta operação, soma-se à \(i\)-ésima linha de uma matriz a \(j\)-ésima linha multiplicada por um número real \(c\neq 0\text{.}\) Indicaremos esta operação pela notação \(L_i \rightarrow L_i + cL_j\text{,}\) onde \(L_i\) indica a \(i\)-ésima linha da matriz. Por exemplo,
É possível associar a cada operação elementar acima uma matriz elementar \(E\) de modo que cada operação elementar sobre as linhas de uma matriz \(A\) corresponde à multiplicação a esquerda de \(A\) por \(E\text{.}\)
Definição2.3.3.
Matrizes Linha Equivalentes Sejam \(A, B\in\mathcal M_{m\times n}\text{.}\) Dizemos que \(B\) é linha equivalente a \(A\text{,}\) e escrevemos \(B\sim A\text{,}\) se \(B\) for obtida de \(A\) a partir de um número finito de operações elementares sobre as linhas de \(A\text{.}\)
Nota2.3.4.
Pode-se mostrar que dois sistemas de equações lineares que possuem matrizes ampliadas linha equivalentes são equivalentes.
