Ir ao conteúdo principal

Álgebra Linear NI

Daniel Cassimiro, Ricardo Machado

Seção 1.3 Operações com Matrizes

Definição 1.3.1.

Sejam \(A = (a_{ij})_{m\times n}\) e \(B = (b_{ij})_{m\times n}\text{.}\) Definimos a soma \(A + B\) pondo
\begin{equation*} A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m\times n}\text{.} \end{equation*}
Ou seja, \(A + B\) é obtida somando-se cada entrada de \(A\) com a entrada de \(B\) correspondente.

Exemplo 1.3.2.

Sejam \(A, B \in \mathcal M_{2\times 4}\) dadas por
\begin{equation*} A= \begin{bmatrix} 1 \amp 3 \amp -2 \amp 6 \\ 2 \amp 1 \amp 4 \amp 7 \end{bmatrix} ~~\text{ e }~~ B= \begin{bmatrix} -2 \amp 4 \amp 0 \amp 4 \\ -1 \amp 0 \amp 1 \amp -3 \end{bmatrix} \end{equation*}
Calcule \(A + B\text{.}\)
Solução.
a matriz \(A + B\) pode ser obtida somando cada entrada de \(A\) com a entrada correspondente de \(B\text{.}\) Portanto,
\begin{equation*} A + B = \begin{bmatrix} 1 + (-2) \amp 3 + 4 \amp -2 + 0 \amp 6 + 4\\ 2 + (-1) \amp 1 + 0 \amp 4+1 \amp 7 + (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \amp 7 \amp -2 \amp 10 \\ 1 \amp 1 \amp 5 \amp 4 \end{bmatrix} \end{equation*}

Tecnologia 1.3.3.

No Sage, podemos obter a soma das matrizes da seguinte maneira:

Nota 1.3.4.

(Propriedades da Adição) Valem as seguintes propriedades da adição de matrizes:
  1. Para todos \(A, B\in \mathcal M_{m\times n}\text{,}\)
    \begin{equation*} A + B = B + A \tag*{(Comutatividade)} \end{equation*}
  2. Para todos \(A, B\) e \(C\in \mathcal M_{m\times n}\text{,}\)
    \begin{equation*} (A + B) + C = A + (B + C) \tag*{(Associatividade)} \end{equation*}
  3. Para todo \(A \in \mathcal M_{m\times n}\text{,}\) existe um único elemento \(0\in\mathcal M_{m\times n}\text{,}\) denominado de matriz nula tal que
    \begin{equation*} A + 0 = A \tag*{(Existência do elemento neutro)} \end{equation*}
  4. Para todo \(A \in \mathcal M_{m\times n}\text{,}\) existe um único elemento \(- A\in\mathcal M_{m\times n}\text{,}\) denominado de matriz simétrica ou \(oposta\) de \(A\text{,}\) tal que
    \begin{equation*} A + (- A) = 0 \tag*{(Existência do elemento oposto)} \end{equation*}

Definição 1.3.5.

Sejam \(A = (a_{ij})_{m\times n}\) e \(c\in\mathbb R\text{.}\) Definimos o produto \(~c A\) de \(A\) por \(c\text{,}\) pondo
\begin{equation*} c A = (ca_{ij})_{m\times n}\text{.} \end{equation*}
Ou seja, \(c A\) é obtida multiplicando-se cada entrada de \(A\) por \(c\text{.}\)

Exemplo 1.3.6.

Seja \(A\in \mathcal M_{4\times 4}\) dada por
\begin{equation*} A = \begin{bmatrix} 2 \amp -1 \amp 0 \amp 0 \\ 4 \amp 6 \amp -2 \amp 7 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 8 \\ 3 \amp 0 \amp 0 \amp -4 \end{bmatrix} \end{equation*}
Calcule \(4A\text{.}\)
Solução.
A matriz \(4A\) é obtida multiplicando as linhas (ou colunas) de \(A\) por 4:
\begin{equation*} 4A = \begin{bmatrix} 4\cdot 2 \amp 4\cdot (-1) \amp 4\cdot 0 \amp 4\cdot 0 \\ 4\cdot 4 \amp 4\cdot 6 \amp 4\cdot (-2) \amp 4\cdot 7 \\ 4\cdot 0 \amp 4\cdot 1 \amp 4\cdot 0 \amp 4\cdot 8 \\ 4\cdot 3 \amp 4\cdot 0 \amp 4\cdot 0 \amp 4\cdot (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \amp -4 \amp 0 \amp 0 \\ 16 \amp 24 \amp -8 \amp 28 \\ 0 \amp 4 \amp 0 \amp 32 \\ 12 \amp 0 \amp 0 \amp -16 \end{bmatrix} \end{equation*}

Tecnologia 1.3.7.

No Sage, podemos multiplicar uma matriz por um número real da seguinte maneira:

Nota 1.3.8.

(Propriedades da Multiplicação por Escalar) Valem as seguintes propriedades da multiplicação por um escalar:
  1. Para todos \(A, B\in \mathcal M_{m\times n}\) e \(c\in\mathbb R\text{,}\)
    \begin{equation*} c( A + B) = c A + c B \end{equation*}
  2. Para todo \(A \in \mathcal M_{m\times n}\) e \(c_1,c_2\in\mathbb R\text{,}\)
    \begin{equation*} (c_1+c_2) A = c_1 A + c_2 A \end{equation*}
  3. Para todo \(A\in\mathcal M_{m\times n}\) e todos \(c_1,c_2\in\mathbb R\text{,}\)
    \begin{equation*} c_1(c_2 A) = (c_1c_2) A \end{equation*}

Definição 1.3.9.

Sejam \(A = (a_{ij})_{m\times n}\) e \(B = (b_{ij})_{n\times p}\text{.}\) Definimos o produto \(A B\) pondo
\begin{equation*} A B = \left(c_{ij}\right)_{m\times p} \end{equation*}
na qual,
\begin{equation*} c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}+ \cdots + a_{in}b_{nj}. \end{equation*}
Ou seja, o elemento \(c_{ij}\) de \(A B\) é obtido multiplicando-se cada entrada da \(i\)-ésima linha de \(A\) pelo elemento correspondente da \(j\)-ésima coluna de \(B\) e depois somando-se estes produtos.

Nota 1.3.10.

O produto \(A B\) está definido apenas quando o número de colunas de \(A\) é igual ao número de linhas de \(B\text{.}\)

Exemplo 1.3.11.

Sejam \(A\in\mathcal M_{2\times 3}\) e \(B\in\mathcal M_{3\times 1}\) dadas por
\begin{equation*} A = \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 2 \amp 3 \end{bmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{equation*}
Calcule \(A B\text{.}\)
Solução.
Seja \(C = (c_{ij})\in\mathcal M_{2\times 1}\) tal que \(C = A B\text{,}\) ou seja,
\begin{equation*} C = \begin{bmatrix} c_{11} \\ c_{21} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 2 \amp 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{equation*}
Então,
\begin{align*} c_{11} \amp= 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 1 = 1\\ c_{12} \amp= 0\cdot 0 + 2\cdot 1 + 1\cdot 3 = 5. \end{align*}
Logo,
\begin{equation*} C = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix} \end{equation*}

Tecnologia 1.3.12.

No Sage, podemos multiplicar duas matrizes da seguinte maneira:

Nota 1.3.13.

(Propriedades da Multiplicação de Matrizes) Valem as seguintes propriedades da multiplicação de matrizes:
  1. Para todos \(A, B, C\in \mathcal M_{m\times n}\text{,}\)
    \begin{equation*} (A B) C = A(B C) \end{equation*}
  2. Para todos \(A, B\in \mathcal M_{m\times n}\) e \(C\in \mathcal M_{n\times p}\text{,}\)
    \begin{equation*} (A + B) C = A C + B C \end{equation*}
  3. Para todo \(A\in \mathcal M_{m\times n}\) e todos \(B, C\in \mathcal M_{n\times p}\text{,}\)
    \begin{equation*} A( B + C) = A B + A C \end{equation*}
  4. De um modo geral, não é verdadeiro que \(A B = B A\text{.}\)

Definição 1.3.14.

Seja \(A = (a_{ij})_{m\times n}\text{.}\) Definimos a transposta de \(A\) por
\begin{equation*} A^T = A^t = (a_{ji})_{n\times m}\text{.} \end{equation*}
Ou seja, \(A^T\) é obtida transformando as colunas de \(A\) em linhas de \(A^T\text{.}\)

Exemplo 1.3.15.

Seja \(A\in\mathcal M_{3\times 4}\) dada por
\begin{equation*} A = \begin{bmatrix} 1 \amp 3 \amp -2 \amp 4 \\ 6 \amp 2 \amp 1 \amp 7 \\ 5 \amp -1 \amp 0 \amp -4 \end{bmatrix} \end{equation*}
Calcule \(A^T\text{.}\)
Solução.
Para calcular \(A^T\) basta notar que as linhas de \(A\) serão as colunas de \(A^T\text{.}\) Assim, \(A^T\) é uma matriz de dimensão \(4\times 3\) dada por
\begin{equation*} A^T = \begin{bmatrix} 1 \amp 6 \amp 5 \\ 3 \amp 2 \amp -1\\ -2 \amp 1 \amp 0 \\ 4 \amp 7 \amp -4 \end{bmatrix} \end{equation*}

Tecnologia 1.3.16.

No Sage, podemos a transposta de uma matriz da seguinte maneira:

Nota 1.3.17.

(Propriedades da Transposição de Matrizes) Valem as seguintes propriedades da transposição de matrizes:
  1. Para todos \(A, B \in \mathcal M_{m\times n}\text{,}\)
    \begin{equation*} (A + B)^T = A^T + B^T \end{equation*}
  2. Para todo \(A\in\mathcal M_{m\times n}\) e todo \(B\in\mathcal M_{n\times p}\text{,}\)
    \begin{equation*} (A B)^T = B^T A^T \end{equation*}
  3. Para todo \(A\in\mathcal M_{m\times n}\) e todo \(c\in\mathbb R\text{,}\)
    \begin{equation*} (c A)^T = c A^T \end{equation*}
  4. Para todo \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}\text{,}\)
    \begin{equation*} (A^T)^T = A \end{equation*}
<Anterior^TopPróximo>
Feito com PreTeXt
Powered by Runestone