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\)
Seção 2.2 Sistemas Lineares e Matrizes
Definição 2.2.1 .
(Forma Matricial de um Sistema Linear) O sistema de equações lineares dado em (2.1.1) pode ser escrito na forma matricial pondo
\begin{equation*}
A x = b
\end{equation*}
na qual \(A\in\mathcal M_{m\times n}\text{,}\) \(x\in\mathcal M_{n\times 1}\) e \(b\in\mathcal M_{m\times 1}\) são matrizes dadas por
\begin{equation*}
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} \amp a_{12} \amp \cdots \amp a_{1n} \\
a_{21} \amp a_{22} \amp \cdots \amp a_{2n} \\
\vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots \\
a_{m1} \amp a_{m2} \amp \cdots \amp a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
x =
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
\quad\text{e}\quad
b =
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Definição 2.2.2 .
(Matriz Ampliada do Sistema) Definimos também a matriz ampliada de (2.1.1) como sendo a matriz \((A|b)\in\mathcal M_{m\times (n+1)}\) dada por
\begin{equation*}
(A|b) =
\begin{bmatrix}
a_{11} \amp a_{12} \amp \cdots \amp a_{1n} \amp b_1 \\
a_{21} \amp a_{22} \amp \cdots \amp a_{2n} \amp b_2\\
\vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots \amp \vdots\\
a_{m1} \amp a_{m2} \amp \cdots \amp a_{mn} \amp b_m
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Exemplo 2.2.4 .
Considere o sistema de equações lineares
\begin{equation*}
\begin{cases}
x_1+4x_2+3x_3 \amp= 1\\
2x_1 + 5x_2 + 4x_3 \amp= 4\\
x_1-3x_2-2x_3 \amp= 5.
\end{cases}
\end{equation*}
Reescreva o sistema acima em sua forma matricial
\begin{equation*}
A x= b,
\end{equation*}
onde \(A\) é a matriz dos coeficientes do sistema, \(x\) é o vetor-coluna das incógnitas e \(b\) é o vetor-coluna dos termos independentes. Explicite ainda a matriz ampliada correspondente.
Solução .
Defina as matrizes
\begin{equation*}
A =
\begin{bmatrix}
1 \amp 4 \amp 3 \\
2 \amp 5 \amp 4 \\
1 \amp -3 \amp -2
\end{bmatrix}
,\quad x =
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
\quad\text{e}\quad
b =
\begin{bmatrix}
1 \\
4 \\
5
\end{bmatrix}
,
\end{equation*}
onde \(A\in\mathcal M_{3\times 3}\) é a matriz dos coeficientes do sistema, \(x\in\mathcal M_{3\times 1}\) é a matriz das incógnitas e \(b\in\mathcal M_{3\times 1}\) é a matriz dos termos independentes.
Então o sistema dado pode ser escrito como
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
1 \amp 4 \amp 3 \\
2 \amp 5 \amp 4 \\
1 \amp -3 \amp -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
4 \\
5
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Além disso, a matriz ampliada do sistema é a matriz \((A|b)\in\mathcal M_{3\times 4}\) dada por
\begin{equation*}
(A|b) =
\begin{bmatrix}
1 \amp 4 \amp 3 \amp 1\\
2 \amp 5 \amp 4 \amp 4\\
1 \amp -3 \amp -2 \amp 5
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
