1.
Seja \(T:V\rightarrow W\) uma função. Mostre que:
- Se T é uma transformação linear, então \(T(0)=0\text{.}\)
- Se \(T(0)\ne0\) então T não é uma transformação linear.
Seção 5.4 Exercícios
Exercícios Exercícios
2.
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:
-
\(f:R^{2}\rightarrow R^{2}\)\((x,y)\mapsto(x+y,x-y)\)
-
\(g:R^{2}\rightarrow R\)\((x,y)\mapsto xy\)
-
\(h:M_{2}\rightarrow R\)\(\begin{bmatrix}a\amp b\\ c\amp d\end{bmatrix}\mapsto det\begin{bmatrix}a\amp b\\ c\amp d\end{bmatrix}\)
-
\(k:P_{2}\rightarrow P_{3}\)\(ax^{2}+bx+c\mapsto ax^{3}+bx^{2}+cx\)
-
\(M:R^{3}\rightarrow R^{2}\)\((x,y,z)\mapsto(x,y,z)\begin{bmatrix}1\amp2\\ 0\amp-1\\ 1\amp1\end{bmatrix}\)
-
\(N:R\rightarrow R\)\(x\mapsto|x|\)
3.
- Ache a transformação linear \(T:R^{3}\rightarrow R^{2}\) tal que \(T(1,0,0)=(2,0)\text{,}\) \(T(0,1,0)=(1,1)\) e \(T(0,0,1)=(0,-1)\text{.}\)
- Encontre v de \(R^{3}\) tal que \(T(v)=(3,2)\)
4.
- Qual é a transformação linear \(T:R^{2}\rightarrow R^{3}\) tal que \(T(1,1)=(3,2,1)\) e \(T(0,-2)=(0,1,0)\text{?}\)
- Ache \(T(1,0)\) e \(T(0,1)\text{.}\)
- Qual é a transformação linear \(S:R^{3}\rightarrow R^{2}\) tal que \(S(3,2,1)=(1,1)\text{,}\) \(S(0, 1, 0) = (0, -2)\) e \(S(0,0,1)=(0,0)\text{?}\)
- Ache a transformação linear \(P:R^{2}\rightarrow R^{2}\) tal que \(P=S\circ T\)
5.
- Ache a transformação T do plano no plano que é uma reflexão em torno da reta \(x=y\text{.}\)
- Escreva-a em forma matricial.
6.
No plano, uma rotação anti-horária de \(45^{\circ}\) é seguida por uma dilatação de \(\sqrt{2}\text{.}\) Ache a aplicação A que representa esta transformação do plano.
7.
Qual é a aplicação A que representa uma contração de \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) seguida por uma rotação horária de \(45^{\circ}\)
8.
Dados \(T:U \rightarrow V\) linear e injetora e \(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{k},\) vetores LI em U, mostre que \(\{T(u_{1}), ..., T(u_{k})\}\) é LI.
9.
Sejam R, S e T três transformações lineares de \(R^{3}\) em \(R^{3}\text{.}\)
Se
\begin{equation*}
[R]=\begin{bmatrix}1\amp0\amp1\\ 2\amp1\amp1\\ 0\amp-1\amp1\end{bmatrix}; \quad [S]=\begin{bmatrix}-2\amp1\amp-1\\ 3\amp1\amp2\\ 1\amp-2\amp0\end{bmatrix}, \text{ ache}
\end{equation*}
T tal que \(R=S \circ T\text{.}\)
10.
Sejam \(\alpha=\{(1,-1),(0,2)\}\) e \(\beta=\{(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)\}\) bases de \(R^{2}\) e \(R^{3}\) respectivamente e
\begin{equation*}
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{bmatrix}1\amp0\\ 1\amp1\\ 0\amp-1\end{bmatrix}
\end{equation*}
- Ache T.
- Se \(S(x,y)=(2y,x-y,x)\) ache \([S]_{\beta}^{\alpha}\text{.}\)
- Ache uma base \(\gamma\) de \(R^{3}\) tal que\begin{equation*} [T]_{\gamma}^{\alpha}=\begin{bmatrix}1\amp0\\ 0\amp0\\ 0\amp1\end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
11.
Se \([R]=\begin{bmatrix}1\amp2\\ -1\amp3\end{bmatrix}\) e \([S]=\begin{bmatrix}1\amp0\amp-1\\ 2\amp1\amp1\end{bmatrix}\text{,}\) ache \(R\circ S\text{.}\)
12.
Se \(R(x,y)=(2x,x-y,y)\) e \(S(x,y,z)=(y-z,z-x)\text{,}\)
- Ache \([R\circ S]\text{.}\)
- Ache \([S\circ R]\text{.}\)
13.
Seja o espaço vetorial de matrizes \(2\times2\) com base
\begin{equation*}
\beta=\{ \begin{bmatrix}1\amp0\\ 0\amp0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\amp1\\ 0\amp0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\amp0\\ 1\amp0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\amp0\\ 0\amp1\end{bmatrix} \}
\end{equation*}
Se \(T:V \rightarrow R^{2}\) é dada por
\begin{equation*}
T\left(\begin{bmatrix}a\amp b\\ c\amp d\end{bmatrix}\right)=(a+d,b+c),
\end{equation*}
- Ache \([T]_{\alpha}^{\beta}\) onde \(\alpha\) é a base canônica de \(R^{2}\text{.}\)
- Se \(S:R^{2} \rightarrow V\) e\begin{equation*} [S]_{\beta}^{\alpha}=\begin{bmatrix}2\amp1\\ 1\amp-1\\ -1\amp0\\ 0\amp1\end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}Ache S e, se for possível, \((a, b)\) tal que \(S(a,b)=\begin{bmatrix}1\amp0\\ 0\amp1\end{bmatrix}\)
14.
Seja \(T:R^{2}\rightarrow R^{2}\) tal que \([T]=\begin{bmatrix}-1\amp-2\\ 0\amp1\end{bmatrix}\text{.}\) Ache os vetores u, v tal que
- \(\displaystyle T(u)=u\)
- \(\displaystyle T(v)=-v\)
15.
Mostre que se \(T:V \rightarrow W\) é uma transformação linear,
- \(Im(T)\) é um subespaço de W.
- \(ker(T)\) é um subespaço de V.
16.
Sejam S e T aplicações lineares de V em W. Definimos \(S+T\) como \((S+T)v=S(v)+T(v)\) para todo \(v\in V\) e definimos \(\alpha S\) como \((\alpha S)v = \alpha \cdot S(v)\) para todo \(\alpha\) e para todo \(v\in V\text{.}\)
- Mostre que S+T é uma transformação linear de V em W.
- Mostre que \(\alpha S\) é uma transformação linear de V em W.
- Mostre que \(X=\{T|T:V\rightarrow W\}\) é um espaço vetorial sobre R.
- Suponha que dim \(V=2\) e dim \(W=3\text{.}\) Tente procurar dim X.
17.
Considere a transformação linear
\begin{equation*}
T:R^{3}\rightarrow R^{3} \text{ dada por } T(x,y,z)=(z,x-y,-z).
\end{equation*}
- Determine uma base do núcleo de T.
- Dê a dimensão da imagem de T.
- T é sobrejetora? Justifique.
- Faça um esboço de ker T e Im T.
18.
Dê, quando possível, exemplos de transformações lineares T, S, L, M e H satisfazendo:
- \(T:R^{3}\rightarrow R^{2}\) sobrejetora
- \(S:R^{3}\rightarrow R^{2}\) com ker \(S=\{(0,0,0)\}\)
- \(L:R^{3}\rightarrow R^{2}\) , com Im \(L=\{(0,0)\}\)
- \(M:R^{2}\rightarrow R^{2}\) , com ker \(M=\{(x,y)\in R^{2};x=y\}\)
- \(H:R^{3}\rightarrow R^{3}\) com ker \(H=\{(x,y,z)\in R^{3};z=-x\}\)
19.
Sejam \(\alpha=\{(0,2),(2,-1)\}\) e \(\beta=\{(1,1,0),(0,0,-1),(1,0,1)\}\) bases de \(R^{2}\) e \(R^{3}\text{.}\)
\begin{equation*}
[S]_{\beta}^{\alpha}=\begin{bmatrix}2\amp0\\ 4\amp0\\ 0\amp-4\end{bmatrix}
\end{equation*}
Dê a expressão para \(S(x,y)\text{.}\)
20.
Seja
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}0\amp1\\ 0\amp2\\ 0\amp1\end{bmatrix} \quad B=\begin{bmatrix}0\amp0\amp0\\ 1\amp2\amp1\\ -1\amp0\amp0\end{bmatrix}
\end{equation*}
Encontre ker \(T_{A}\text{,}\) Im \(T_{A}\text{,}\) ker \(T_{B}\text{,}\) Im \(T_{B}\text{,}\) ker \((T_{B}\circ T_{A})\text{,}\) Im \((T_{B}\circ T_{A})\text{.}\) Determine bases para estes seis subespaços.
21.
Seja \(T:R^{2}\rightarrow R^{2}\) uma reflexão, através da reta \(y=3x\text{.}\)
- Encontre \(T(x,y)\)
- Encontre a base \(\alpha\) de \(R^{2}\text{,}\) tal que\begin{equation*} [T]_{\alpha}^{\alpha}=\begin{bmatrix}1\amp0\\ 0\amp-1\end{bmatrix} \end{equation*}
22.
Seja \(T:R^{3}\rightarrow R^{3}\) onde \(T(v)\) é a projeção do vetor v no plano \(3x+2y+z=0\text{.}\)
- Encontre \(T(x,y,z)\text{.}\)
- Encontre uma base ordenada \(\beta\) de \(R^{3}\text{,}\) tal que\begin{equation*} [T]_{\beta}^{\beta}=\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp1\end{bmatrix} \end{equation*}
23.
Seja \(L:R^{3}\rightarrow R^{3}\) onde L é a reflexão através do plano \(3x+2y+z=0\text{.}\)
- Encontre \(L(x,y,z)\text{.}\)
- Encontre uma base ordenada \(\gamma\) de \(R^{3}\text{,}\) tal que\begin{equation*} [T]_{\gamma}^{\gamma}=\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\ 0\amp1\amp0\\ 0\amp0\amp-1\end{bmatrix} \end{equation*}
24.
Encontre a expressão da transformação linear \(T:R^{3}\rightarrow R^{3}\) que é uma rotação de \(\pi/3\) em torno da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor (1, 1, 0).
25.
Um espelho plano está apoiado em uma parede vertical formando um ângulo de \(30^{\circ}\) com ela. Se um feixe de luz de raios paralelos for emitido verticalmente (do teto para o chão) determine a direção dos raios refletidos.
