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Álgebra Linear NI

Daniel Cassimiro, Ricardo Machado

Seção 4.5 Combinações Lineares

Definição 4.5.1.

Sejam \(V\) um espaço vetorial, \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n \in V\) e \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n \in \mathbb{R}\text{.}\) Dizemos que \(\mathbf{v} \in V\) é uma combinação linear de \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) se
\begin{gather*} \mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + \alpha_n \mathbf{v}_n \end{gather*}

Exemplo 4.5.2.

Seja \(\mathbf{v} = (3,7,-4) \in \mathbb{R}^3\text{.}\) Verifique se \(\mathbf{v}\) é uma combinação linear dos vetores
\begin{gather*} \mathbf{u}_1 = (1,2,3), \quad \mathbf{u}_2 = (2,3,7), \quad \mathbf{u}_3 = (3,5,6) \end{gather*}
Solução.
Precisamos determinar \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in \mathbb{R}\) tais que
\begin{gather*} (3,7,-4) = \alpha_1 (1,2,3) + \alpha_2 (2,3,7) + \alpha_3 (3,5,6) \end{gather*}
Equivalente ao sistema:
\begin{gather*} \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 = 3, \quad 2\alpha_1 + 3\alpha_2 + 5\alpha_3 = 7, \quad 3\alpha_1 + 7\alpha_2 + 6\alpha_3 = -4 \end{gather*}
Matriz ampliada do sistema:
\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 \amp 2 \amp 3 \amp 3\\ 2 \amp 3 \amp 5 \amp 7\\ 3 \amp 7 \amp 6 \amp -4 \end{array} \right] \end{align*}
Matriz-linha reduzida:
\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 2\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -4\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 3 \end{array} \right] \end{align*}
Portanto, o sistema possui uma única solução: \(\alpha_1 = 2, \alpha_2 = -4, \alpha_3 = 3\text{.}\) Assim
\begin{equation*} (3,7,-4) = 2(1,2,3) + (-4)(2,3,7) + 3(3,5,6). \end{equation*}

Tecnologia 4.5.3.

Verificando se \(\mathbf{v}\) pode ser obtido como combinação linear de \(\mathbf{u_1}, \mathbf{u_3}, \mathbf{u_3}\text{:}\)

Nota 4.5.5.

O subespaço \(W\) é o menor subespaço vetorial de \(V\) que contém os vetores \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\text{.}\)

Nota 4.5.6.

Algumas observações decorrem imediatamente do resultado anterior:
  1. Seja \(V = \langle \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n \rangle\) e \(\mathbf{w} \in V\text{.}\) Então, \(V = \langle \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n,\mathbf{w} \rangle\text{.}\)
  2. Seja \(V = \langle \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n \rangle\) e
    \begin{gather*} \mathbf{v}_i = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_{i-1} \mathbf{v}_{i-1} + \alpha_{i+1} \mathbf{v}_{i+1} + \cdots + \alpha_n \mathbf{v}_n \end{gather*}
    Então \(V = \langle \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{i-1},\mathbf{v}_{i+1},\ldots,\mathbf{v}_n \rangle\text{.}\)
  3. Se \(V = \langle \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n \rangle\) e \(\mathbf{v}_i = \mathbf{0}\) para algum \(i=1,\ldots,n\text{,}\) então \(V = \langle \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{i-1},\mathbf{v}_{i+1},\ldots,\mathbf{v}_n \rangle\text{.}\)

Exemplo 4.5.7.

Verifique se os vetores formam um conjunto gerador de \(\mathbb{R}^3\text{:}\)
  1. \(\displaystyle \mathbf{v}_1 = (1,1,1), \mathbf{v}_2 = (1,1,0), \mathbf{v}_3 = (1,0,0)\)
  2. \(\displaystyle \mathbf{u}_1 = (1,2,3), \mathbf{u}_2 = (1,3,5), \mathbf{u}_3 = (1,5,9)\)
Solução.
Resolvemos os dois casos:
  1. Seja \(\mathbf{v} = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3\text{.}\) Precisamos mostrar que existem \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in \mathbb{R}\) tais que
    \begin{gather*} (x,y,z) = \alpha_1 (1,1,1) + \alpha_2 (1,1,0) + \alpha_3 (1,0,0) \end{gather*}
    O sistema equivalente é
    \begin{gather*} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = x \\ \alpha_1 + \alpha_2 = y \\ \alpha_1 = z \end{gather*}
    que possui uma única solução
    \begin{gather*} \alpha_1 = z, \quad \alpha_2 = y-z, \quad \alpha_3 = x-y \end{gather*}
    Logo, \(\mathbb{R}^3 = \langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 \rangle\text{.}\)
  2. Seja \(\mathbf{v} = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3\text{.}\) Precisamos mostrar que existem \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in \mathbb{R}\) tais que
    \begin{gather*} (x,y,z) = \alpha_1 (1,2,3) + \alpha_2 (1,3,5) + \alpha_3 (1,5,9) \end{gather*}
    O sistema equivalente é
    \begin{gather*} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = x \\ 2\alpha_1 + 3\alpha_2 + 5\alpha_3 = y \\ 3\alpha_1 + 5\alpha_2 + 9\alpha_3 = z \end{gather*}
    A matriz ampliada do sistema é
    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 \amp 1 \amp 1 \amp x\\ 2 \amp 3 \amp 5 \amp y\\ 3 \amp 5 \amp 9 \amp z \end{array} \right] \end{align*}
    A matriz-linha reduzida à forma escada é
    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 \amp 0 \amp -2 \amp 3x - y\\ 0 \amp 1 \amp 3 \amp -2x + y\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp x - 2y + z \end{array} \right] \end{align*}
    Como o posto da matriz ampliada é diferente do posto da matriz dos coeficientes, o sistema é impossível. Logo, \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\) não geram \(\mathbb{R}^3\text{.}\)

Tecnologia 4.5.8.

Verificando se os vetores do item b. formam um conjunto gerador de \(\mathbb{R^3}\text{:}\)

Exemplo 4.5.9.

Verifique se \(p = 3t^2 + 5t - 5\) é uma combinação linear dos polinômios
\begin{gather*} p_1 = t^2 + 2t + 1, \quad p_2 = 2t^2 + 5t + 4, \quad p_3 = t^2 + 3t + 6 \end{gather*}
Solução.
Precisamos determinar se existem \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R}\) tais que
\begin{gather*} 3t^2 + 5t - 5 = \alpha_1 (t^2 + 2t + 1) + \alpha_2 (2t^2 + 5t + 4) + \alpha_3 (t^2 + 3t + 6) \end{gather*}
Podemos reescrever a equação como:
\begin{gather*} 3t^2 + 5t - 5 = (\alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3) t^2 + (2\alpha_1 + 5\alpha_2 + 3\alpha_3) t + (\alpha_1 + 4\alpha_2 + 6\alpha_3) \end{gather*}
Igualando os coeficientes de mesmas potências de \(t\text{,}\) obtemos o sistema:
\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3 = 3 \\ 2\alpha_1 + 5\alpha_2 + 3\alpha_3 = 5 \\ \alpha_1 + 4\alpha_2 + 6\alpha_3 = -5 \end{cases} \end{equation*}
A matriz ampliada do sistema é:
\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 \amp 2 \amp 1 \amp 3\\ 2 \amp 5 \amp 3 \amp 5\\ 1 \amp 4 \amp 6 \amp -5 \end{array} \right] \end{align*}
A matriz-linha reduzida à forma escada da matriz ampliada é:
\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 3\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -2 \end{array} \right] \end{align*}
Portanto, o sistema admite uma única solução \(\alpha_1 = 3\text{,}\) \(\alpha_2 = 1\) e \(\alpha_3 = -2\text{.}\) Logo,
\begin{gather*} p = 3p_1 + 1p_2 - 2p_3 \end{gather*}
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