A matriz ampliada associada ao sistema é
\begin{equation*}
(A|b) = \left[
\begin{array}{rrrrr}
1 \amp 2 \amp 1 \amp 1 \amp 1\\
1 \amp 3 \amp -1 \amp 2 \amp 3
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Pode-se mostrar que a matriz acima pode ser linha reduzida à forma escada
\begin{equation*}
B = \left[
\begin{array}{rrrrr}
1 \amp 0 \amp 5 \amp -1 \amp -3\\
0 \amp 1 \amp -2 \amp 1 \amp 2
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Reinterpretando em termos de um sistema de equações lineares,
\begin{equation*}
\begin{cases}
x + 5z - w \amp= -3\\
y - 2z + w \amp= 2.
\end{cases}
\end{equation*}
Note que
\(p_c = p_a = 2 \lt 4\text{.}\) Logo o sistema é possível, porém indeterminado. O número de graus de liberdade do sistema é
\(4- p_c = 2\text{.}\) Assim, podemos escolher duas incógnitas como variáveis livres, obtendo o sistema
\begin{equation*}
\begin{cases}
x \amp= -3 - 5r + s\\
y \amp= 2 + 2r - s\\
z \amp= r\\
w \amp= s
\end{cases}
\end{equation*}
Portanto, as soluções básicas do sistema tem a forma
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{r}
x \\
y \\
z \\
w
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{r}
-3 \\
2 \\
0 \\
0
\end{array}
\right] +
r\left[
\begin{array}{r}
-5\\
2 \\
1 \\
0
\end{array}
\right] + s\left[
\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{array}
\right].
\end{equation*}
