1.
Dada a matriz
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}2\amp1\amp0\amp0\\ 0\amp2\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp2\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp3\end{bmatrix}
\end{equation*}
Seção 6.6 Exercícios
Exercícios Exercícios
2.
Seja A uma matriz \(3\times3\) triangular superior, com todos os seus elementos acima da diagonal distintos e não nulos.
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}a\amp b\amp c\\ 0\amp d\amp e\\ 0\amp0\amp f\end{bmatrix}
\end{equation*}
- Quais são os autovalores e autovetores de A?
- Qual é o polinomio minimal de A?
3.
Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}1\amp1\\ 0\amp a\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle B=\begin{bmatrix}1\amp a\\ 0\amp1\end{bmatrix}\)
4.
Sejam T: \(R^{3}\rightarrow R^{3}\) linear, \(\alpha=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\text{,}\) a base canônica de \(R^{3}\text{,}\) \(\beta=\{(0,1,1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\}\) e
\begin{equation*}
[T]_{\alpha}^{\alpha}=\begin{bmatrix}2\amp0\amp1\\ 0\amp-3\amp1\\ 0\amp0\amp-3\end{bmatrix}
\end{equation*}
- Encontre o polinômio característico de T, os autovalores de T e os autovetores correspondentes.
- Ache \([T]_{\beta}^{\beta}\) e o polinômio característico. Que observação você faz a este respeito?
- Encontre uma base \(\gamma\) de \(R^{3}\text{,}\) se for possível, tal que \([T]_{\gamma}^{\gamma}\) seja diagonal.
5.
- Sejam \(T:V\rightarrow V\) um operador linear (V de dimensão finita) e \(\alpha\) e \(\beta\) bases distintas de T. Mostre que \(det[T]_{\alpha}^{\alpha}=det[T]_{\beta}^{\beta}\)
- Se \(A_{n\times m}\) é diagonalizável, mostre que o determinante de A é o produto de seus autovalores. (Sugestão: considere \(T_{A}:R^{n}\rightarrow R^{n}\text{,}\) observando que a matriz de \(T_{A}\) na base canônica é exatamente A. Use então o resultado do item (a) considerando como \(\alpha\) a base canônica e \(\beta\) a base de autovetores.)
6.
Mostre que a matriz
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}1\amp2\\ 3\amp2\end{bmatrix}
\end{equation*}
é semelhante à matriz
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}4\amp 0\\ 0\amp-1\end{bmatrix}
\end{equation*}
7.
- Mostre que um operador linear T (num espaço de dimensão finita) que comuta com qualquer operador linear diagonalizável é diagonalizável.
- Nas condições do item (a) mostre que na verdade T é um múltiplo escalar do operador identidade, isto é, existe um númeror tal que \(T=r\cdot I\text{.}\)
8.
Diz-se que um operador linear \(T:V\rightarrow V\) é nilpotente se existir um número inteiro positivo n, tal que \(T^{n}=0\) (isto é, \(T\circ T\circ \ldots \circ T(v) = 0\) para todo \(v\in V\)).
- Seja \(T\) nilpotente. Encontre seus autovalores.
- Encontre uma matriz \(A_{2\times2}\ne0\) tal que \(T_{A}:R^{2}\rightarrow R^{2}\) seja nilpotente.
- Mostre que um operador linear nilpotente, não nulo, não é diagonalizável.
9.
Diz-se que um operador linear \(T:V\rightarrow V\) é idempotente se \(T^{2}=T\) (isto é, se \(T\circ T(v)=T(v)\) para todo \(v\in V\)).
- Seja T idempotente. Ache seus autovalores.
- Encontre uma matriz \(A_{2\times2}\ne0\) tal que \(T_{A}:R^{2}\rightarrow R^{2}\) seja idempotente.
- Mostre que um operador linear idempotente é diagonalizável.
10.
Utilize a forma diagonal para encontrar \(A^{n}\) nos seguintes casos (\(n\) natural):
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}-3\amp4\\ -1\amp2\end{bmatrix}\)
- \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}0\amp7\amp-6\\ -1\amp4\amp0\\ 0\amp2\amp-2\end{bmatrix}\)
Você pode generalizar o seu procedimento para o caso de uma matriz quadrada qualquer? Quais são as condições?
