UFRPE-DM Núcleo e Imagem

Seção 5.2 Núcleo e Imagem

Definição 5.2.1. Núcleo e Imagem de uma Transformação.

Seja $T:V\to W$ transformação linear. O núcleo de $T$ é o conjunto

\begin{equation*} \mathcal N(T) = \{\mathbf{v}\in V: T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}. \end{equation*}

Definimos também a imagem de $T$ como o conjunto

\begin{equation*} \text{im}(T) = \{\mathbf{w}\in W: T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}\ \text{para algum $\mathbf{v}\in V$}\}. \end{equation*}

Nota 5.2.2. Observação.

Pode-se mostrar que $\mathcal N(T)$ é um subespaço vetorial de $V$ e que $\text{im}(T)$ é um subespaço vetorial de $W\text{.}$

Exemplo 5.2.3.

Seja $T:\mathbb R^3\to \mathbb R^3$ dada por

\begin{equation*} T(x,y,z) = (x,2y,0). \end{equation*}

Determine o núcleo e a imagem de $T\text{.}$

Solução.

Se $(x,y,z)\in\mathbb R^3$ é tal que $T(x,y,z) = (0,0,0)\text{,}$ então,

\begin{equation*} (x,2y,0) = (0,0,0). \end{equation*}

Logo, $x=y=0\text{.}$ Portanto,

\begin{equation*} \mathcal N(T) = \{(0,0,z)\in\mathbb R^3: z\in\mathbb R\} = \langle (0,0,1)\rangle. \end{equation*}

Por outro lado, note que

\begin{equation*} T(x,y,z) = (x,2y,0) = x(1,0,0) + y(0,2,0). \end{equation*}

Assim,

\begin{equation*} \text{im}(T) = \{(x,2y,0)\in\mathbb R^3: x,y\in\mathbb R\} = \langle (1,0,0),(0,2,0)\rangle. \end{equation*}

Em particular, $\dim\mathcal N(T)=1$ e $\dim\text{im}(T) = 2\text{.}$

Definição 5.2.4. Transformações Injetivas e Sobrejetivas.

Seja $T:V\to W$ uma função. Dizemos que $T$ é injetora se

\begin{equation*} T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \Rightarrow \mathbf{u} = \mathbf{v}. \end{equation*}

Dizemos ainda que $T$ é sobrejetora se dado $\mathbf{w}\in W\text{,}$ existir $\mathbf{v}\in V$ tal que $T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}\text{.}$ Em outras palavras, $T$ é injetora se $\text{im}(T) = W\text{.}$

Exemplo 5.2.5.

Seja $T:\mathbb R\to \mathbb R^2$ dada por

\begin{equation*} T(x) = (x,0). \end{equation*}

Determine se $T$ é injetora e sobretora.

Solução.

A transformação linear $T$ é injetora. Com efeito,

\begin{equation*} T(x) = T(y)\ \Leftrightarrow\ (x,0) = (y,0)\ \Leftrightarrow\ x=y. \end{equation*}

Porém, $T$ não é sobrejetora. De fato, não existe $x\in\mathbb R$ tal que

\begin{equation*} T(x) = (0,1). \end{equation*}

Logo, $(0,1)\notin \text{im}(T)$ e, portanto, $\text{im}(T) \neq \mathbb R^2\text{.}$

Teorema 5.2.6.

Seja $T:V\to W$ transformação linear. Então $T$ é injetora se, e somente se, $\mathcal N(T) = \{\mathbf{0}\}\text{.}$

Teorema 5.2.7. (Teorema do núcleo e imagem).

Seja $T:V\to W$ transformação linear. Então,

\begin{equation*} \dim\mathcal N(T) + \dim\text{im}(T) = \dim V. \end{equation*}

Corolário 5.2.8.

Seja $T:V\to W$ transformação linear. Se $\dim V = \dim W\text{,}$ então $T$ é injetora se, e somente se, $T$ é sobrejetora.

Corolário 5.2.9.

Seja $T:V\to W$ transformação linear injetora. Se $\dim V = \dim W\text{,}$ então $T$ leva base em base.

Álgebra Linear NI

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