Seção 3.3 A interpretação geométrica de \(\mathbb{R}\)
É muito conveniente imaginar o conjunto \(\mathbb{R}\) como uma reta, chamada a reta real, e os números reais como pontos dessa reta.
Olhando para o conjunto \(\mathbb{R}\text{,}\) como uma reta, a relação \(x\lt y\) significa que o ponto \(x\) está à esquerda do ponto \(y\text{.}\) O número \(|x-y|\) é a distância do ponto \(x\) ao ponto \(y\text{,}\) assim, \(x\) é a distância do ponto \(x\) ao ponto \(0\text{.}\) Ademais, consideremos os seguintes subconjuntos de \(\mathbb{R}\text{,}\) chamados intervalos:
- \(\displaystyle [a,b]=\{x\in\mathbb{R}; a\leq x\leq b\}\)
- \(\displaystyle (a,b)=\{x\in\mathbb{R}; a\lt x\lt b\}\)
- \(\displaystyle [a,b)=\{x\in\mathbb{R};a\leq x\lt b\}\)
- \(\displaystyle (a,b]=\{x\in\mathbb{R}; a\lt x\leq b\}\)
- \(\displaystyle (-\infty,b]=\{x\in\mathbb{R}; x\leq b\}\)
- \(\displaystyle (-\infty,b)=\{x\in\mathbb{R}; x \lt b\}\)
- \(\displaystyle [a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}; a\leq x\}\)
- \(\displaystyle (a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}; a\lt x\}\)
- \(\displaystyle (-\infty,+\infty)=\mathbb{R}\)
Os quatro primeiros intervalos são limitados, com extremos \(a,b\text{:}\) \([a,b]\) é um intervalo fechado, \((a,b)\) é aberto, \([a,b)\) é fechado à esquerda e aberto à direita e \((a,b]\) é fechado à direita e aberto à esquerda. Os cinco últimos intervalos são ilimitados: \((-\infty,b]\) é a semirreta esquerda fechada de origem \(b\text{,}\) demais têm denominações análogas. Quando \(a=b\text{,}\) o intervalo fechado \([a,b]\) reduz-se a um único ponto e chama-se um intervalo degenerado.
Em termos de intervalos, o Corolário 3.2.8 nos diz que \(|x-a|\lt \delta\) se, e somente se, \(x\) pertence ao intervalo aberto \((a-\delta,a+\delta)\text{.}\) Além disso, \(|x-a|\lt \delta\) significa que a distância de \(x\) para \(a\) é menor que \(\delta\text{.}\)
Essas interpretações geométricas nos auxiliam a compreensão dos conceitos e teoremas da Análise.