Números: notas de aula

1.

Sejam \(x,y\in\mathbb{R}\text{.}\) Mostre que:

1. \(x\cdot y> 0\) se, e somente se, ou (\(x>0\) e \(y>0\)) ou (\(x\lt 0\) e \(y\lt 0\)).
2. \(x\cdot y\lt 0\) se, e somente se, ou (\(x\lt 0\) e \(y>0\)) ou (\(x>0\) e \(y\lt 0\)).

2.

Para quaisquer \(x,y,z\in\mathbb{R}\text{,}\) mostre que:

1. \(|x-z|\leq |x-y|+|y-z|\text{.}\)
2. \(|x|-|y|\leq \big||x|-|y|\big|\leq |x-y|\text{.}\)

3.

Dados \(x,y\in\mathbb{R}\text{,}\) se \(x^2+y^2=0\) prove que \(x=y=0\text{.}\)

4.

Sejam \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\text{,}\) com \(b>0\) e \(d>0\text{.}\) Prove que: \(\dfrac{a}{b}\lt \dfrac{c}{d} ~ \Leftrightarrow ~ ad\lt bc\text{.}\)

5.

Sejam \(x,y\in\mathbb{R}\text{.}\) Se \(x>0\) e \(y>0\text{,}\) prove que \(\dfrac{x}{y}>0\text{.}\)

6.

Sejam \(x,y\in \mathbb{R}\) com \(0\lt x\) e \(0\lt y\text{.}\) Mostre que: \(x\lt y ~ \Leftrightarrow x^2\lt y^2.\)

7.

Represente geometricamente, na reta real, os intervalos definidos pelas seguintes desigualdades:

1. \(\displaystyle x\geq 2\)
2. \(\displaystyle x>2\)
3. \(\displaystyle x\leq 4\)
4. \(\displaystyle x\geq-4\)
5. \(\displaystyle -1\leq x\lt 3\)
6. \(\displaystyle -2\lt x\lt 0\)
7. \(\displaystyle -\dfrac{2}{3}\lt x\leq \dfrac{3}{2}\)
8. \(\displaystyle -5\leq x \leq -2\)

8.

(De [8.2]) Um aluno resolveu a desigualdade \[\dfrac{3x^2+2x}{x^2+4}\geq 3\] da seguinte maneira: primeiro multiplicou ambos os lados da desigualdade por \(x^2+4\text{,}\) transformando-a na desigualdade \[3x^2+2x\geq 3x^2+12,\] daí ele chegou a \(x\geq 6\text{,}\) ou seja, que o conjunto de soluções é o intervalo \[S=[6,\infty).\] Determine se a solução deste aluno está correta. Em caso afirmativo, justifique melhor o procedimento do aluno. Em caso negativo, determine o erro.

9.

(De [8.2]) Resolva as desigualdades seguintes, apresentando cada conjunto de soluções como intervalo, ou união de intervalos. Represente geometricamente, na reta real, os conjuntos encontrados.

1. \(\displaystyle \dfrac{2-3x}{x+2}>0\)
2. \(\displaystyle \dfrac{x-3}{x^2+2}\leq 0\)
3. \(\displaystyle \dfrac{2x-3}{4x+1}\leq 2\)
4. \(\displaystyle \dfrac{x^2+3}{6x-1}>3\)
5. \(\displaystyle (2x-1)(2x+3)\lt 0\)
6. \(\displaystyle (3x+2)(6-4x)\leq 0\)
7. \(\displaystyle x^2-3x+2\lt 0\)
8. \(\displaystyle (2x+4)(1+x^2)\leq 0\)
9. \(\displaystyle x^2+x+1\leq 0\)
10. \(\displaystyle 3x^2+x-2>0\)
11. \(\displaystyle x+\dfrac{1}{x}\geq 1\)
12. \(\displaystyle \dfrac{2x+1}{x-1}+\dfrac{x+1}{x-2}>3\)
13. \(\displaystyle x^3+2x^2+x\lt 0\)
14. \(\displaystyle x^4-1\geq 0\)
15. \(\displaystyle (x-1)(x-2)(x-3)\lt 0\)
16. \(\displaystyle x^2-1>0\)
17. \(\displaystyle 2\lt x+\dfrac{1}{x}\lt 8\)
18. \(\displaystyle (2-x)^2\lt (1-x)^2\)
19. \(\displaystyle \dfrac{x+1}{x+2}\leq \dfrac{x+3}{x+4}\)

10.

(De [8.2]) Determine todos os números reais que satisfazem as equações e as desigualdades abaixo:

1. \(\displaystyle |x-1|=x-1\)
2. \(\displaystyle |x|=2x+1\)
3. \(\displaystyle |2x+3|=2\)
4. \(\displaystyle |x|\leq 3\)
5. \(\displaystyle |x+2|> 2\)
6. \(\displaystyle |x-1|\lt 1\)
7. \(\displaystyle |x+2|>2\)
8. \(\displaystyle |2-3x|\leq \dfrac{2}{3}\)
9. \(\displaystyle 2\lt |x|\lt 3\)
10. \(\displaystyle -2\leq |2x+1|\)
11. \(\displaystyle |x-3|\lt x+1\)
12. \(\displaystyle |x-1|\lt |x-3|\)
13. \(\displaystyle |x+1|\lt |3x+2|\)
14. \(\displaystyle |x-1|-|x+2|\geq x\)
15. \(\displaystyle |x+1|\lt x \)
16. \(\displaystyle \big||x-1|-2\big|\lt 3 \)

11.

(De [8.2]) Resolva as desigualdades seguintes, apresentando suas respostas como intervalos, ou união de intervalos.

1. \(\displaystyle \dfrac{x+1}{x+3}\leq \dfrac{x-2}{x-4}\)
2. \(\displaystyle \dfrac{x+1}{x-2}\leq \dfrac{x+3}{x-4}\)

Por que as desigualdades têm soluções diferentes? Justifique sua resposta.