Seção 1.1 Números Naturais
A teoria dos números naturais pode ser deduzida a partir de três axiomas chamados de Axiomas de Peano. Abaixo enunciamos tais axiomas.
Subseção 1.1.1 Axiomas de Peano
Axioma 1.1.1.
(Axiomas de Peano) O conjunto \(\mathbb{N}\text{,}\) dos números naturais, é caracterizado pelos seguintes fatos:
Existe uma função injetiva \(s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\text{.}\) A imagem \(s(n)\) de um número natural \(n\in\mathbb{N}\) é chamada sucessor de \(n\).
Existe um único número natural \(1\in\mathbb{N}\) tal que \(1\neq s(n)\) para todo \(n\in\mathbb{N}\text{.}\)
Se um subconjunto \(M\subset \mathbb{N}\) é tal que \(1\in M\) e \(s(n)\in M\) sempre que \(n\in M\text{,}\) então \(M=\mathbb{N}\text{.}\)
Em outras palavras, as sentenças \(1, 2\) e \(3\) do Axioma 1.1.1, podem ser reescritas como:
Todo número natural tem um sucessor que é também um número natural; números diferentes têm sucessores diferentes.
Existe um único número natural \(1\in\mathbb{N}\) que não é sucessor de nenhum outro.
Se um subconjunto de \(\mathbb{N}\) contém o número \(1\) e contém também o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais.
O item \(3\) do Axioma 1.1.1 é conhecido como Axioma de Indução. Intuitivamente, ele significa que todo número natural \(n\) pode ser obtido a partir de \(1\text{,}\) tomando-se seu sucessor \(s(1)\text{,}\) o sucessor deste, \(s(s(1))\text{,}\) e assim por diante, com um "número finito" de etapas (ainda não sabemos o que significa um "número finito"). Adotaremos a notação indo-arábica (de base 10) para representar os números naturais, isto é, representaremos todos os números naturais por: \[1, ~ 2=s(1), ~ 3=s(2), ~ 4=s(3), ~ 5=s(4),\] e assim por diante.
A grande importância do axioma de indução é que ele serve de base para um método de demonstração de teoremas sobre números naturais, conhecido como Princípio de Indução, o qual funciona como segue:
Definição 1.1.2.
(Princípio de Indução) Se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P válida para o número \(n\) daí resultar que P é válida também para seu sucessor \(s(n)\text{,}\) então P é válida para todos os números naturais.
Entre os axiomas de Peano não existe nenhuma afirmação que nos diga que qualquer número natural é diferente de seu sucessor, demonstraremos isso agora utilizando o Princípio de Indução.
Proposição 1.1.3.
Para qualquer \(n\in\mathbb{N}\text{,}\) \(s(n)\neq n.\)
Demonstração.
Esta afirmação é verdadeira para \(n=1\text{,}\) pois, pelo item 2 do Axioma 1.1.1, \(1\neq s(1)\text{.}\) Suponha a afirmação verdadeira para um certo \(n\in \mathbb{N}\text{,}\) ou seja, suponha que \(n\neq s(n)\text{,}\) queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para \(s(n)\text{.}\) Como a função é injetiva, temos \(s(n)\neq s(s(n))\text{,}\) isto é, a afirmação é verdadeira para \(s(n)\text{.}\) Portanto, pela Definição 1.1.2, a afirmação é verdadeira para todo \(n\in \mathbb{N}\text{.}\)
Subseção 1.1.2 Operações entre números naturais
No conjunto \(\mathbb{N}\text{,}\) dos números naturais, temos duas operações fundamentais, a soma, denotada por \((+)\text{,}\) e o produto, denotado por \((\cdot)\text{.}\)
De maneira formal, essas operações são caracterizadas pelas seguintes igualdades, que são suas definições: para quaisquer \(m,n \in\mathbb{N}\text{:}\)
\(m+1=s(m)\text{;}\)
\(m+s(n)=s(m+n)\text{,}\) ou seja, \(m+(n+1)=(m+n)+1\text{;}\)
\(m\cdot 1=m\text{;}\)
\(m\cdot(n+1)=m\cdot n+m\text{.}\)
Em outras palavras, somar \(1\) a \(m\) significa tomar o sucessor de \(m\text{.}\) Além disso, se já conhecemos a soma \(m+n\text{,}\) então saberemos calcular \(m+(n+1)\text{,}\) que é o sucessor de \(m+n\text{.}\) Quanto à multiplicação, quando multiplicamos um número \(m\) por \(1\text{,}\) o resultado é \(m\text{.}\) Ademais, se conhecemos \(m\cdot n\text{,}\) saberemos calcular \(m\cdot(n+1)\text{,}\) que é \(m\cdot n +m\text{.}\)
A demonstração da existência das operações \(+\) e \(\cdot\) com as propriedades acima se faz por indução e podem ser encontradas em [8.1]. Em [8.1] também são demonstradas por indução as seguintes propriedades: para quaisquer \(m,n,p\in\mathbb{N}\)
- Associatividade: \((m+n)+p=m+(n+p),\, \,(m\cdot n)\cdot p=m\cdot(n\cdot p)\text{;}\)
- Comutatividade: \(m+n=n+m, \, \, m\cdot n=n\cdot m\text{;}\)
- Distributividade: \(m\cdot(n+p)=m\cdot n +m\cdot p\text{;}\)
- Lei do corte: \(n+m=p+m \Rightarrow n=p, \, \, n\cdot m=p\cdot m \Rightarrow n=p\text{.}\)
Notação. Dados \(m,n,p\in \mathbb{N}\text{,}\) se \(m+n=p\text{,}\) então escrevemos que \(m=p-n\text{.}\)