Seção 7.3 O Teorema Fundamental da Álgebra
Vimos que a principal diferença entre o corpo \(\mathbb{Q}\) e o corpo \(\mathbb{R}\) é que, embora ambos sejam corpos ordenados, \(\mathbb{R}\) é completo, propriedade que o corpo \(\mathbb{Q}\) não possui. Vimos também que o corpo \(\mathbb{C}\) não é ordenado, no sentido de existir um conjunto de números positivos como ocorre com \(\mathbb{R}\text{.}\) Mas fica uma dúvida, o corpo \(\mathbb{C}\) possui alguma propriedade que o corpo \(\mathbb{R}\) não possui? Veremos agora que sim, pois \(\mathbb{C}\) é um corpo algebricamente fechado, propriedade que \(\mathbb{R}\) não possui. Mais ainda, \(\mathbb{C}\) é o fecho algébrico de \(\mathbb{R}\text{.}\)
Teorema 7.3.1.
(Teorema Fundamental da Álgebra) Todo polinômio não-constante em \(\mathbb{C}[x]\) possui raiz em \(\mathbb{C}\text{.}\)
A demonstração desse teorema foi a tese de doutorado de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) no ano de 1798. Admitiremos o teorema fundamental da álgebra sem demonstração.
Corolário 7.3.2.
Todo polinômio não-constante em \(\mathbb{R}[x]\) possui raiz em \(\mathbb{C}\text{.}\)