Números: notas de aula

1.

Se, para algum \(a\in\mathbb{R}\text{,}\) se tem \(a+b=a\text{,}\) mostre que \(b=0\text{.}\)

2.

Prove que: se \(ab=a\text{,}\) para algum \(a\in\mathbb{R}\) não nulo, então \(b=1\text{.}\)

3.

Dados \(a,b\in\mathbb{R}\text{,}\) prove que: se \(a+b=0\text{,}\) então \(b=-a\text{.}\)

4.

Prove que: \(-(a+b)=-a-b\text{,}\) para quaisquer \(a,b\in\mathbb{R}\text{.}\)

5.

Prove que: \(-(a-b)=b-a\text{,}\) para quaisquer \(a,b\in\mathbb{R}\text{.}\)

6.

Prove que: \(a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c\text{,}\) para quaisquer \(a,b,c\in\mathbb{R}\text{.}\)

7.

Mostre que \((-1)\cdot(-1)=1\text{,}\) e conclua que \((-1)^{-1}=-1\text{.}\)

8.

Para qualquer \(a\in\mathbb{R}\text{,}\) mostre que \((-1)\cdot(-a)=a\text{.}\)

9.

Mostre que, para quaisquer \(x,a\in\mathbb{R}\text{,}\)

1. \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\text{;}\)
2. \(x^3-a^3=(x-a)(x^2+xa+a^2)\text{;}\)
3. \(x^3+a^3=(x+a)(x^2-xa+a^2)\text{.}\)

10.

Mostre que, para quaisquer \(x,y\in\mathbb{R}\text{,}\)

1. \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\text{;}\)
2. \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\text{;}\)
3. \((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\text{;}\)
4. \((x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\text{.}\)

11.

Determine as soluções reais das equações polinomiais

1. \(3x^2-4x=0\text{;}\)
2. \((2x-1)(x+4)(x^2-9)=0\text{;}\)
3. \((x+2)(x-1)=x^2-4\text{;}\)
4. \((2x+3)^2=(x-1)^2\text{.}\)

12.

Se \(a\neq 0\text{,}\) mostre que \((a^{-1})^{-1}=a\text{.}\)

13.

Se \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\) em \(\mathbb{R}\text{,}\) prove que \((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\text{,}\) e conclua que \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}\text{.}\)

14.

Mostre que: \(\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\left(\dfrac{a}{b}\right)\) para quaisquer \(a,b\in\mathbb{R}\) com \(b\neq 0\text{,}\) e conclua que \((-b)^{-1}=-(b^{-1})\text{.}\)

15.

Sejam \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) todos não nulos. Mostre que \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d} ~~~ \mbox{se, e somente se,} ~~~ ad=bc.\]