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Seção 7.2 A Forma Trigonométrica

Definição 7.2.1.

Um número complexo \(z=a+bi\) pode ser visto como um vetor \(\overrightarrow{Oz}\) de origem \(O\) e extremidade \((a,b)\text{.}\) Observe a figura:

Figura 7.2.2. Representação geométrica do número complexo \(z=a+bi\text{.}\)

Sendo \(\theta\) o ângulo positivo \(xOz\text{,}\) então

\begin{equation*} |z|cos(\theta) = a \Rightarrow \dfrac{a}{|z|}=cos(\theta) \end{equation*}

e

\begin{equation*} |z|sen(\theta) = b\Rightarrow \dfrac{b}{|z|}=sen(\theta). \end{equation*}

O ângulo \(\theta\) é chamado de argumento de \(z\) e é denotado por \(arg(z)\text{.}\) De maneira geral, podemos escrever

\begin{equation*} z = |z|(cos(\theta) + isen(\theta)). \end{equation*}

Esta representação é chamada a forma trigonométrica do número complexo \(z\text{.}\)

Exemplo 7.2.3.

Determine um argumento e a forma trigonométrica dos seguintes números complexos:

  1. \(\displaystyle z=3+3i;\)
  2. \(\displaystyle z=-1+i\sqrt{3};\)
  3. \(\displaystyle z=3i.\)
Tecnologia 7.2.4.

Para verificar a forma trigonométrica de um número complexo, troque apenas o número complexo da linha 1 e em seguida aperte em Evaluate (Sage).

A soma (e a diferença) de dois números complexos pode ser obtida somando-se (e subtraindo-se) os vetores que os representam. Disto decorre a desigualdade triangular: \[|z+w|\leq |z|+|w|, ~~ ~~ \forall z,w\in\mathbb{C}.\] As operações com números complexos, exceto a adição e a subtração, se fazem mais facilmente na forma trigonométrica do que algébrica, tal fato é o que veremos agora.

item 1.

\begin{align*} z\cdot w = \amp~ |z|(\cos \theta +i\sin\theta)\cdot|w|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\\ = \amp~ |z||w|(\cos \theta +i\sin\theta)(\cos\varphi+i\sin\varphi)\\ = \amp~ |z||w|(\cos \theta \cos\varphi +i\cos\theta \sin\varphi + i\sin\theta \cos\varphi +i^2\sin\theta\sin\varphi)\\ = \amp~ |z||w|(\cos \theta \cos\varphi -\sin\theta\sin\varphi +(\cos\theta \sin\varphi + \sin\theta \cos\varphi)i)\\ = \amp~ |z||w|(\cos (\theta+\varphi) + i\sin(\theta+\varphi)). \end{align*}

item 1.

\begin{align*} \frac{z}{w} = \amp~ \frac{z\cdot \overline{w}}{w\cdot \overline{w}}\\ =\amp~ \frac{|z|(\cos \theta +i\sin\theta)\cdot|w|(\cos\varphi-i\sin\varphi)}{|w|^2}\\ =\amp~ \frac{|z|(\cos \theta +i\sin\theta)\cdot|w|(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))}{|w|^2}\\ =\amp~ \frac{|z||w|}{|w|^2}(\cos(\theta-\varphi)+i\sin(\theta-\varphi))\\ =\amp~ \frac{|z|}{|w|}(\cos(\theta-\varphi)+i\sin(\theta-\varphi)). \end{align*}
Observação 7.2.6.

Observe que \[\arg(z\cdot w)=\arg(z)+\arg(w), ~~~~~~~~~~ \arg\left(\dfrac{z}{w}\right)=\arg(z)-\arg(w).\]

Note que a fórmula é válida para todo \(n\in \mathbb{Z}\text{.}\) Vamos separar em dois casos e demonstrar cada um deles.

Para \(n\geq 0\text{,}\) a prova será feita por indução. Para \(n=1\text{:}\)

\begin{equation*} z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta), \end{equation*}

a expressão é verdadeira. Suponha que a expressão é verdadeira para algum número natural \(k>1\text{.}\) Então,

\begin{align*} z^{k+1} =\amp~ z^k\cdot z \\ =\amp~ |z|^k(\cos(k\theta)+i\sin(k\theta))|z|(\cos\theta+i\sin\theta)\\ =\amp~ |z|^{k+1}(\cos((k+1)\theta) + i\sin((k+1)\theta)) \end{align*}

Portanto, pelo princípio de indução, a expressão é válida para todo \(k\in \mathbb{N}\text{.}\)

Para \(n\lt 0\text{,}\) temos \(z^n = \frac{1}{z^{-n}}\text{.}\) Como \(-n>0\text{,}\) pela primeira parte temos

\begin{align*} z^n = \amp~\frac{1}{|z|^{-n}(\cos(-n\theta) +i\sin(-n\theta))}\\ = \amp~\frac{1(\cos(0)+i\sin(0))}{|z|^{-n}(\cos(-n\theta) +i\sin(-n\theta))}\\ = \amp~\frac{1}{|z|^{-n}}\left( \cos(0-(-n\theta))+i\sin(0-(-n\theta)) \right)\\ =\amp~ |z|^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)) \end{align*}
Exemplo 7.2.8.

Calcule \((1+i\sqrt{3})^{20}\text{.}\)

Solução

A forma trigonométrica de \(z=1+i\sqrt{3}\) é

\begin{equation*} z = 2\left(cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+isen\left(\frac{\pi}{3}\right)\right). \end{equation*}

Pela Fórmula de Moivre

\begin{equation*} z^{20} = 2^{20}\left(cos\left(\frac{20\pi}{3}\right)+isen\left(\frac{20\pi}{3}\right)\right). \end{equation*}

Vejamos agora como calcular as raízes de números complexos.

Seja \(w=|w|(\cos(\varphi)+ i\sin(\varphi))\) a forma trigonométrica de uma das raízes \(n\)-ésimas de \(z\text{.}\) Então

\begin{equation*} w^n=z \Leftrightarrow |w|^n(\cos(n\varphi)+ i\sin(n\varphi)) = |z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta)). \end{equation*}

Portanto,

\begin{equation*} \begin{cases} |w|^n = |z|\\ n\varphi = \theta + k\cdot 2\pi,~~ k\in \mathbb{Z}.\\ \end{cases} \end{equation*}

A solução é dada por

\begin{equation*} \begin{cases} |w| = \sqrt[n]{|z|}\\ \varphi = \displaystyle\frac{\theta+2 k \pi}{n},~~ k\in \mathbb{Z}.\\ \end{cases} \end{equation*}

Logo,

\begin{equation*} w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right), ~~~ k=0,1,2,\cdots, n-1. \end{equation*}
Exemplo 7.2.10.

Determine as raízes cúbicas de 8.

Solução

A forma trigonométrica de \(z=8\) é dada por

\begin{equation*} z = 8(\cos(0)+i\sin(0)). \end{equation*}

Então,

\begin{align*} w_0 = \amp~ \sqrt[3]{|8|}\left(\cos\dfrac{0}{3}+i\sin\dfrac{0}{3}\right) = 2;\\ w_1 = \amp~ \sqrt[3]{|8|}\left(\cos\dfrac{2\cdot\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\cdot\pi}{3}\right) = 2\left( -\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1+i\sqrt{3};\\ w_2 = \amp~ \sqrt[3]{|8|}\left(\cos\dfrac{4\cdot\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\cdot\pi}{3}\right) = 2\left( -\frac{1}{2} +i\frac{-\sqrt{3}}{2} \right) = -1-i\sqrt{3}. \end{align*}
Tecnologia 7.2.11.

Para calcular as raízes \(n\)-ésimas de \(z\text{,}\) troque as informações de \(z\) e \(n\) das linhas \(1\) e \(2\text{,}\) respectivamente.