Seção 7.2 A Forma Trigonométrica
Definição 7.2.1.
Um número complexo \(z=a+bi\) pode ser visto como um vetor \(\overrightarrow{Oz}\) de origem \(O\) e extremidade \((a,b)\text{.}\) Observe a figura:
Sendo \(\theta\) o ângulo positivo \(xOz\text{,}\) então
e
O ângulo \(\theta\) é chamado de argumento de \(z\) e é denotado por \(arg(z)\text{.}\) De maneira geral, podemos escrever
Esta representação é chamada a forma trigonométrica do número complexo \(z\text{.}\)
Exemplo 7.2.3.
Determine um argumento e a forma trigonométrica dos seguintes números complexos:
- \(\displaystyle z=3+3i;\)
- \(\displaystyle z=-1+i\sqrt{3};\)
- \(\displaystyle z=3i.\)
Tecnologia 7.2.4.
Para verificar a forma trigonométrica de um número complexo, troque apenas o número complexo da linha 1 e em seguida aperte em Evaluate (Sage).
A soma (e a diferença) de dois números complexos pode ser obtida somando-se (e subtraindo-se) os vetores que os representam. Disto decorre a desigualdade triangular: \[|z+w|\leq |z|+|w|, ~~ ~~ \forall z,w\in\mathbb{C}.\] As operações com números complexos, exceto a adição e a subtração, se fazem mais facilmente na forma trigonométrica do que algébrica, tal fato é o que veremos agora.
Teorema 7.2.5.
Se \(z=|z|(\cos \theta +i\mbox{sen}\theta)\) e \(w=|w|(\cos\varphi+i\mbox{sen}\varphi)\text{,}\) então
- \(\displaystyle z\cdot w= |z||w|(\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi))\)
- Se \(w\neq 0\text{,}\) então \(\dfrac{z}{w}=\dfrac{|z|}{|w|}(\cos(\theta-\varphi)+i\sin(\theta-\varphi)).\)
Demonstração.
item 1.
item 1.
Observação 7.2.6.
Observe que \[\arg(z\cdot w)=\arg(z)+\arg(w), ~~~~~~~~~~ \arg\left(\dfrac{z}{w}\right)=\arg(z)-\arg(w).\]
Corolário 7.2.7.
(Fórmula de Moivre) Se \(n\) é um número inteiro e \(z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)\text{,}\) então \[z^n=|z|^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)).\]
Demonstração.
Note que a fórmula é válida para todo \(n\in \mathbb{Z}\text{.}\) Vamos separar em dois casos e demonstrar cada um deles.
Para \(n\geq 0\text{,}\) a prova será feita por indução. Para \(n=1\text{:}\)
a expressão é verdadeira. Suponha que a expressão é verdadeira para algum número natural \(k>1\text{.}\) Então,
Portanto, pelo princípio de indução, a expressão é válida para todo \(k\in \mathbb{N}\text{.}\)
Para \(n\lt 0\text{,}\) temos \(z^n = \frac{1}{z^{-n}}\text{.}\) Como \(-n>0\text{,}\) pela primeira parte temos
Exemplo 7.2.8.
Calcule \((1+i\sqrt{3})^{20}\text{.}\)
SoluçãoA forma trigonométrica de \(z=1+i\sqrt{3}\) é
Pela Fórmula de Moivre
Vejamos agora como calcular as raízes de números complexos.
Corolário 7.2.9.
Seja \(z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)\text{,}\) então a equação \[w^n=z\] tem soluções \[w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right), ~~~ k=0,1,2,\cdots, n-1.\]
Demonstração.
Seja \(w=|w|(\cos(\varphi)+ i\sin(\varphi))\) a forma trigonométrica de uma das raízes \(n\)-ésimas de \(z\text{.}\) Então
Portanto,
A solução é dada por
Logo,
Exemplo 7.2.10.
Determine as raízes cúbicas de 8.
SoluçãoA forma trigonométrica de \(z=8\) é dada por
Então,
Tecnologia 7.2.11.
Para calcular as raízes \(n\)-ésimas de \(z\text{,}\) troque as informações de \(z\) e \(n\) das linhas \(1\) e \(2\text{,}\) respectivamente.