UFRPE-DM A Existência de Raízes

Seção 4.2 A Existência de Raízes

Iniciaremos essa seção provando que não existe \(r\in \mathbb{Q}\) tal que \(r^2=2\text{.}\)

Observação 4.2.1.

Dizemos que um número inteiro \(n\) é par quando \(n=2m\) para algum \(m\in\mathbb{Z}\) Se \(n\in\mathbb{Z}\) não é par, dizemos que \(n\) é ímpar, isso significa que \(n=2m+1\) para algum \(m\in\mathbb{Z}\text{.}\)

Proposição 4.2.2.

Não existe \(r\in \mathbb{Q}\) tal que \(r^2=2\text{.}\)

Demonstração.

Suponha que exista \(r\in \mathbb{Q}\) tal que \(r^2=2\text{.}\) Então, existem números naturais, \(m\) e \(n\) primos entre si, tais que,

\begin{equation*} x = \frac{m}{n}. \end{equation*}

Portanto,

\begin{equation*} x^2 = \left( \frac{m}{n} \right)^2 = \frac{m^2}{n^2} = 2, \end{equation*}

logo, \(m = 2n^2\text{.}\) Dessa forma, \(2\) divide \(m^2\text{.}\) Como \(2\) é primo, \(2\) divide \(m\text{,}\) ou seja, \(m=2q\text{,}\) para algum \(q\in \mathbb{N}\text{.}\) Assim,

\begin{equation*} 4q^2 = 2n^2, \end{equation*}

dividindo por \(2\text{,}\)

\begin{equation*} 2q^2 = n^2. \end{equation*}

Então \(2\) também divide \(n^2\text{,}\) que implica que \(2\) divide \(n\text{.}\) Isso é uma contradição, pois, por hipótese \(m\) e \(n\) são primos entre si.

Teorema 4.2.3.

Para todo número real positivo \(a\) e todo número natural \(n\) existe um único número real positivo \(x\) tal que \(x^n=a\text{.}\) Denotaremos \(x=\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\text{.}\)

A demonstração do teorema acima é longa e pode ser encontrada na referência [8.2]. Por motivo de brevidade, omitiremos tal demonstração.

Pela Proposição 4.2.2 e pelo Teorema 4.2.3, existem números reais que não são racionais. Chamaremos de números irracionais os números pertencentes ao conjunto \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\text{.}\)

Observação 4.2.4.

Pode-se mostrar que

\begin{equation*} \sup\{r\in\mathbb{Q}; r>0 ~ ~ \mbox{e} ~~ r^2\lt 2\}=\sqrt{2}. \end{equation*}

Como vimos, \(\sqrt{2}\) não é um número racional, isto significa que o subconjunto de \(\mathbb{Q}\)

\begin{equation*} \{r\in\mathbb{Q}; r>0 ~ ~ \mbox{e} ~~ r^2\lt 2\} \end{equation*}

é limitado superiormente, mas não possui supremo em \(\mathbb{Q}\text{.}\) Isto implica que \(\mathbb{Q}\) não é um corpo ordenado completo.

Finalizamos esse capítulo provando a Fórmula de Bhaskara.

Proposição 4.2.5.

Sejam \(a,b,c\in \mathbb{R}\) com \(a\neq 0\) e consideremos a equação polinomial

\begin{equation*} ax^2+bx+c=0. \end{equation*}

Sendo \(\Delta=b^2-4ac:\)

se \(\Delta=0\text{,}\) então a equação possui uma única solução, dada por \(x_1=-\dfrac{b}{2a}\text{;}\)
se \(\Delta>0\text{,}\) então a equação possui duas soluções distintas, dadas por \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) e \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\text{;}\)
se \(\Delta\lt 0\text{,}\) então a equação não possui raízes em \(\mathbb{R}\text{.}\)

Demonstração.

item i. Segue direto da Proposição 2.2.13.

item ii. Segue da demonstração da Proposição 2.2.13, que

\begin{align*} ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow \amp~ \left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \amp~ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2}\\ \Leftrightarrow \amp~ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\\ \Leftrightarrow \amp~ x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\\ \Leftrightarrow \amp~ x = - \frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}}\\ \Leftrightarrow \amp~ x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \Leftrightarrow \amp~ x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}

Como \(\Delta>0\text{,}\) a equação possui duas soluções distintas, dadas pela última igualdade acima.

item iii. Como \(\Delta\lt 0\text{,}\) \(\sqrt{\Delta}\notin \mathbb{R}\text{.}\) Portanto, equivalência obtida no item ii.

\begin{equation*} ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \end{equation*}

a equação não possui solução em \(\mathbb{R}\text{.}\)