Seção 3.1 \(\mathbb{R}\) é um Corpo Ordenado
Assumiremos como verdadeiro que existe um subconjunto de \(\mathbb{R}\) que satisfaz duas condições importantes, como veremos agora.
Axioma 3.1.1.
\(\mathbb{R}\) é um corpo ordenado, isto é, existe um subconjunto \(\mathbb{R}^+\subset \mathbb{R}\text{,}\) chamado o conjunto dos números reais positivos, que cumpre as seguintes condições:
- A soma e o produto de números reais positivos são positivos. Isto é, se \(x,y\in\mathbb{R}^+\text{,}\) então \(x+y\in\mathbb{R}^+\) e \(x\cdot y\in\mathbb{R}^+\text{.}\)
- Dado \(x\in\mathbb{R}\text{,}\) vale uma, e somente uma, das três alternativas seguintes: ou \(x=0\text{,}\) ou \(x\in\mathbb{R}^+\text{,}\) ou \(-x\in\mathbb{R}^+\text{.}\)
Notação. Denotaremos por \(\mathbb{R}^-\) o conjunto dos números reais \(-x\) em que \(x\in\mathbb{R}^+\text{.}\) A condição 2 do Axioma 3.1.1 garante que \(\mathbb{R}=\mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-\cup \{0\}\) e que não existe nenhum número que pertença a dois desses conjuntos (ao mesmo tempo).
A seguinte proposição garante que todo número real não nulo tem quadrado positivo.
Proposição 3.1.2.
Seja \(x\in\mathbb{R}\text{.}\) Se \(x\neq 0\text{,}\) então \(x^2\in\mathbb{R}^+\text{.}\)
Demonstração.
Como \(x\neq 0\text{,}\) pelo item 2 do Axioma 3.1.1, precisamos analisar dois casos.
(1º caso) Se \(x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) então \(x^2 = x\cdot x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) pelo item 1 do Axioma 3.1.1.
(2º caso) Se \(-x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) então \(x^2 = (-x)\cdot (-x) \in \mathbb{R}^+\text{,}\) pelo item 1 do Axioma 3.1.1.
Observação 3.1.3.
O número 1 é um número real positivo, pois pela Proposição 3.1.2,
Por conseguinte, \(-1\) é um número real negativo. Uma vez que, pela Proposição 3.1.2 e pelo item 2 do Axioma 3.1.1, não existe número real cujo quadrado é negativo, logo a equação
não possui solução em \(\mathbb{R}\text{.}\) Veremos mais a frente que essa equação possui solução no corpo \(\mathbb{C}\text{,}\) mas isso implica diretamente que em \(\mathbb{C}\) não podemos definir um conjunto de números complexos positivos que cumpra os dos itens do Axioma 3.1.1.
Agora podemos definir a relação de ordem em \(\mathbb{R}\text{.}\)
Definição 3.1.4.
Dados \(x,y\in\mathbb{R}\text{,}\) dizemos que \(x\) é menor que \(y\text{,}\) e escrevemos \(x\lt y\text{,}\) quando \(y-x\in\mathbb{R}^+\text{.}\) Neste caso, dizemos ainda que \(y\) é maior que \(x\) e escrevemos \(y>x\text{.}\)
Notação. A notação \(x\leq y\) significa que \(x\lt y\) ou \(x=y\text{.}\) De maneira similar, a notação \(y\geq x\) significa que \(y>x\) ou \(y=x\text{.}\)
Observação 3.1.5.
Observe que \(x\in\mathbb{R}^+\) se, e somente se, \(x>0\text{.}\) De fato, por definição da relação de ordem, \[x>0 \Leftrightarrow x=x-0\in\mathbb{R}^+.\] De maneira similar, \(x\in\mathbb{R}^-\) se, e somente se, \(x\lt 0\text{.}\) Sendo assim, \(x>0\) significa que \(x\) é positivo, enquanto \(x\lt 0\) significa que \(x\) é negativo.
Proposição 3.1.6.
As seguintes propriedades são válidas em \(\mathbb{R}\text{.}\)
- Transitividade: se \(x\lt y\) e \(y\lt z\text{,}\) então \(x\lt z\text{.}\)
- Tricotomia: dados \(x,y\in\mathbb{R}\text{,}\) vale uma, e somente uma, das três alternativas seguintes: ou \(x=y\text{,}\) ou \(x\lt y\text{,}\) ou \(y\lt x\text{.}\)
- Monotonicidade da adição: se \(x\lt y\text{,}\) então \(x+z\lt y+z\) para todo \(z\in\mathbb{R}\text{.}\)
- Monotonicidade da multiplicação: se \(x\lt y\) e \(z>0\text{,}\) então \(xz\lt yz\text{.}\) Se, porém, \(x\lt y\) e \(z\lt 0\text{,}\) então \(xz>yz\text{.}\)
Demonstração.
item 1. Se \(x\lt y\) e \(y\lt z\) então \(y-x \in \mathbb{R}^+\) e \(z-y \in \mathbb{R}^+\text{.}\) Segue que \((y-x)+(z-y)\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Portanto, \(z-x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) ou seja \(x\lt z\text{,}\) pois
item 2. Pelo item 2 do Axioma 3.1.1, vale uma, e somente uma, das três alternativas:
Observe que \(y-x=0 \Leftrightarrow x=y\) e, pela Definição 3.1.4, \(y-x \in \mathbb{R}^+ \Leftrightarrow x\lt y\) e \(x-y \in \mathbb{R}^+ \Leftrightarrow y\lt x\text{.}\)
item 3. Basta observar que
item 4. Como \(x\lt y\text{,}\) temos \(y-x\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Supondo \(z\in \mathbb{R}^+\text{,}\) segue que
mas \((y-x)\cdot z = yz-xz\text{.}\) Então \(xz\lt yz\text{.}\)
Supondo \(z\lt 0\text{,}\) temos \(-z \in \mathbb{R}^+\text{.}\) Portanto,
Mas
Então,
Proposição 3.1.7.
As seguintes propriedades são válidas em \(\mathbb{R}\text{.}\)
- Se \(a\lt b\) e \(x\lt y\text{,}\) então \(a+x\lt b+y\text{.}\)
- Se \(0\lt a\lt b\) e \(0\lt x\lt y\text{,}\) então \(ax\lt by\text{.}\)
- Se \(x>0\text{,}\) então \(\dfrac{1}{x}>0\text{.}\)
- Se \(0\lt x\lt y\text{,}\) então \(\dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{x}\text{.}\)
Demonstração.
item 1. Pelo monotonicidade da adição (item 3 da Proposição 3.1.6),
e
Pela transitividade (item 1 da Proposição 3.1.6),
item 2. Pelo monotonicidade da multiplicação (item 4 da Proposição 3.1.6),
e
Pela transitividade (item 1 da Proposição 3.1.6),
item 3. Como \(x\neq 0\text{,}\) \(x^{-1}\in \mathbb{R}\text{,}\) logo, pela Proposição 3.1.2, \((x^{-1})^2 \in \mathbb{R}^+\text{.}\) Pelo item \(1.\) do Axioma 3.1.1, o produto de depois elemento de \(\mathbb{R}^+\) pertence a \(\mathbb{R}^+\text{.}\) Então, como \(x\in \mathbb{R}^+\) e \((x^{-1})^2 \in \mathbb{R}^+\text{,}\) temos
item 4. Pelo item anterior, \(x^{-1} > 0\) e \(y^{-1} > 0\text{.}\) Logo, pela monotonicidade da multiplicação,
fazendo as contas obtemos,