[skip-to-content]

Seção 3.1 \(\mathbb{R}\) é um Corpo Ordenado

Assumiremos como verdadeiro que existe um subconjunto de \(\mathbb{R}\) que satisfaz duas condições importantes, como veremos agora.

Notação. Denotaremos por \(\mathbb{R}^-\) o conjunto dos números reais \(-x\) em que \(x\in\mathbb{R}^+\text{.}\) A condição 2 do Axioma 3.1.1 garante que \(\mathbb{R}=\mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-\cup \{0\}\) e que não existe nenhum número que pertença a dois desses conjuntos (ao mesmo tempo).

A seguinte proposição garante que todo número real não nulo tem quadrado positivo.

Como \(x\neq 0\text{,}\) pelo item 2 do Axioma 3.1.1, precisamos analisar dois casos.

(1º caso) Se \(x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) então \(x^2 = x\cdot x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) pelo item 1 do Axioma 3.1.1.

(2º caso) Se \(-x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) então \(x^2 = (-x)\cdot (-x) \in \mathbb{R}^+\text{,}\) pelo item 1 do Axioma 3.1.1.

Observação 3.1.3.

O número 1 é um número real positivo, pois pela Proposição 3.1.2,

\begin{equation*} 1=1^2\in\mathbb{R}^+. \end{equation*}

Por conseguinte, \(-1\) é um número real negativo. Uma vez que, pela Proposição 3.1.2 e pelo item 2 do Axioma 3.1.1, não existe número real cujo quadrado é negativo, logo a equação

\begin{equation*} x^2=-1 \end{equation*}

não possui solução em \(\mathbb{R}\text{.}\) Veremos mais a frente que essa equação possui solução no corpo \(\mathbb{C}\text{,}\) mas isso implica diretamente que em \(\mathbb{C}\) não podemos definir um conjunto de números complexos positivos que cumpra os dos itens do Axioma 3.1.1.

Agora podemos definir a relação de ordem em \(\mathbb{R}\text{.}\)

Definição 3.1.4.

Dados \(x,y\in\mathbb{R}\text{,}\) dizemos que \(x\) é menor que \(y\text{,}\) e escrevemos \(x\lt y\text{,}\) quando \(y-x\in\mathbb{R}^+\text{.}\) Neste caso, dizemos ainda que \(y\) é maior que \(x\) e escrevemos \(y>x\text{.}\)

Notação. A notação \(x\leq y\) significa que \(x\lt y\) ou \(x=y\text{.}\) De maneira similar, a notação \(y\geq x\) significa que \(y>x\) ou \(y=x\text{.}\)

Observação 3.1.5.

Observe que \(x\in\mathbb{R}^+\) se, e somente se, \(x>0\text{.}\) De fato, por definição da relação de ordem, \[x>0 \Leftrightarrow x=x-0\in\mathbb{R}^+.\] De maneira similar, \(x\in\mathbb{R}^-\) se, e somente se, \(x\lt 0\text{.}\) Sendo assim, \(x>0\) significa que \(x\) é positivo, enquanto \(x\lt 0\) significa que \(x\) é negativo.

item 1. Se \(x\lt y\) e \(y\lt z\) então \(y-x \in \mathbb{R}^+\) e \(z-y \in \mathbb{R}^+\text{.}\) Segue que \((y-x)+(z-y)\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Portanto, \(z-x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) ou seja \(x\lt z\text{,}\) pois

\begin{align*} (y-x) + (z-y) =\amp~ (y+(-x)) + (z+(-y)) = \\ = (z+(-y))+(y+(-x)) =\amp~ z +((-y)+(y+(-x))) = \\ = z+(((-y)+(y))+(-x)) =\amp~ z+(0+(-x)) = \\ = z+(-x) =\amp~ z-x. \end{align*}

item 2. Pelo item 2 do Axioma 3.1.1, vale uma, e somente uma, das três alternativas:

\begin{equation*} \text{ ou }~ y-x=0 ~\text{ ou }~ y-x \in \mathbb{R}^+ ~\text{ ou }~ x-y = -(y-x) \in \mathbb{R}^+. \end{equation*}

Observe que \(y-x=0 \Leftrightarrow x=y\) e, pela Definição 3.1.4, \(y-x \in \mathbb{R}^+ \Leftrightarrow x\lt y\) e \(x-y \in \mathbb{R}^+ \Leftrightarrow y\lt x\text{.}\)

item 3. Basta observar que

\begin{equation*} (y+z)-(x+z) = y-x. \end{equation*}

item 4. Como \(x\lt y\text{,}\) temos \(y-x\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Supondo \(z\in \mathbb{R}^+\text{,}\) segue que

\begin{equation*} (y-x)\cdot z \in \mathbb{R}^+, \end{equation*}

mas \((y-x)\cdot z = yz-xz\text{.}\) Então \(xz\lt yz\text{.}\)

Supondo \(z\lt 0\text{,}\) temos \(-z \in \mathbb{R}^+\text{.}\) Portanto,

\begin{equation*} (y-x)\cdot(-z)\in \mathbb{R}^+. \end{equation*}

Mas

\begin{align*} (y-x)\cdot(-z) =\amp~ (y+(-x))\cdot(-z)\\ =\amp~ y(-z)+(-x)(-z)\\ =\amp~ -yz + xz\\ =\amp~ xz - yz. \end{align*}

Então,

\begin{equation*} yz\lt xz. \end{equation*}

item 1. Pelo monotonicidade da adição (item 3 da Proposição 3.1.6),

\begin{equation*} a\lt b \Rightarrow a+x \lt b+x, \end{equation*}

e

\begin{equation*} x\lt y \Rightarrow b+x \lt b+y. \end{equation*}

Pela transitividade (item 1 da Proposição 3.1.6),

\begin{equation*} a+x\lt b+y. \end{equation*}

item 2. Pelo monotonicidade da multiplicação (item 4 da Proposição 3.1.6),

\begin{equation*} x\lt y \text{ e } a>0 \Rightarrow ax\lt ay \end{equation*}

e

\begin{equation*} a\lt b \text{ e } y>0 \Rightarrow ay\lt by \end{equation*}

Pela transitividade (item 1 da Proposição 3.1.6),

\begin{equation*} ax\lt by. \end{equation*}

item 3. Como \(x\neq 0\text{,}\) \(x^{-1}\in \mathbb{R}\text{,}\) logo, pela Proposição 3.1.2, \((x^{-1})^2 \in \mathbb{R}^+\text{.}\) Pelo item \(1.\) do Axioma 3.1.1, o produto de depois elemento de \(\mathbb{R}^+\) pertence a \(\mathbb{R}^+\text{.}\) Então, como \(x\in \mathbb{R}^+\) e \((x^{-1})^2 \in \mathbb{R}^+\text{,}\) temos

\begin{equation*} \frac{1}{x} = x^{-1} = x\cdot(x^{-1})^2>0. \end{equation*}

item 4. Pelo item anterior, \(x^{-1} > 0\) e \(y^{-1} > 0\text{.}\) Logo, pela monotonicidade da multiplicação,

\begin{equation*} x\lt y \Rightarrow x\cdot (x^{-1}y^{-1}) \lt y\cdot (x^{-1}y^{-1}), \end{equation*}

fazendo as contas obtemos,

\begin{equation*} y^{-1} \lt x^{-1}. \end{equation*}