Seção 5.4 \(\mathbb{R}\) Não é Enumerável
Teorema 5.4.1.
O conjunto dos números reais não é enumerável.
Demonstração.
Vamos mostrar que nenhuma função \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\) pode ser sobrejetiva. Pela definição de conjunto enumerável, isso é suficiente para provar que \(\mathbb{R}\) não é enumerável.
Seja \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\) uma função qualquer, para mostrar que \(f\) não é sobrejetiva, vamos precisar construir uma sequência decrescente de intervalos
de intervalos limitados e fechados tal que \(f(n)\notin I_n\text{.}\) Começe tomando \(I_1=[a_1,b_1]\) tal que \(f(1)\lt a_1\) e supondo obtidos
tais que \(f(j)\notin I_j\text{,}\) olhamos para \(I_n=[a_n, b_n]\text{,}\) temos dois casos.
1º caso: Se \(f(n+1)\notin I_n\text{,}\) podemos simplesmente tomar \(I_{n+1}=I_n\text{.}\)
2º caso: Se \(f(n+1)\in I_n\text{,}\) pelo menos um dos extremos, digamos \(a_n\text{,}\) é diferente de \(f(n+1)\text{,}\) isto é, \(a_n\lt f(n+1)\text{.}\) Neste caso, tomamos
Pelo Teorema 4.1.21 existe um número real \(c\) pertencente a todos os \(I_n\text{,}\) e pela construção desses intervalos, nenhum dos valores pode ser igual a \(c\text{,}\) logo \(f\) não é sobrejetiva.
Corolário 5.4.2.
O conjunto \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) dos números irracionais não é enumerável.
Demonstração.
Como o conjunto \(\mathbb{Q}\) dos números racionais é enumerável, como \(\mathbb{R} = \mathbb{Q}\cup (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\text{,}\) o conjunto dos números irracionais é não enumerável.
Corolário 5.4.3.
Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável.
Demonstração.
Todo intervalo não degenerado contém um intervalo aberto \((a,b)\text{.}\) Como a função
definida por
é uma bijeção, basta mostrar que o intervalo aberto \((-1,1)\) é não-enumerável.
Considere a função \(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1)\text{,}\) dada por
é uma bijeção cuja inversa é \(\psi:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}\text{,}\) definida por
pois,
para qualquer \(y\in (-1,1)\) e \(x\in \mathbb{R}\text{,}\) como se pode verificar.
Próximo teorema nos diz que o conjunto \(\mathbb{Q}\) dos números racionais e o conjunto \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) dos números irracionais são densos em \(\mathbb{R}\text{,}\) isto é, entre dois números reais quaisquer existem números racionais e irracionais.
Teorema 5.4.4.
Todo intervalo não-degenerado \(I\) contém números racionais e irracionais.
Demonstração.
Certamente \(I\) contém números irracionais, pois do contrário seria enumerável. Falta provar que \(I\) contém números racionais.
Para provar que \(I\) contém números racionais, tomamos \([a,b]\subset I\text{,}\) na qual, \(a\lt b\) são números irracionais. Fixamos \(n\in \mathbb{N}\) tal que
Os intervalos
cobrem a reta, isto é,
Portanto existe \(m\in \mathbb{Z}\) tal que \(a\in I_m\text{.}\) Como \(a\) é irracional, temos
Sendo o comprimento \(\frac{1}{n}\) do intervalo \(I_m\) menor do que \(b-a\text{,}\) segue-se que
Logo o número racional \(\frac{m+1}{n}\) pertence ao intervalo \([a,b]\) e portanto ao intervalo \(I\text{.}\)