UFRPE-DM Números Inteiros

Seção 1.2 Números Inteiros

Os números inteiros, \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}, \) juntamente com as operações de adição e multiplicação, pode ser construído a partir do conjunto dos números naturais. Por motivo de brevidade, não faremos essa construção, adotaremos mais uma lista de axiomas.

Axioma 1.2.1.

As operações de adição e de multiplicação em \(\mathbb{Z}\) possuem as seguintes propriedades:

A adição e a multiplicação são bem definidas:
‘Para todos \(a, b, a', b'\in\mathbb{Z}\text{,}\) se \(a=a'\) e \(b=b'\text{,}\) então \(a+b=a'+b'\) e \(a\cdot b=a'\cdot b'\text{.}\)’
A adição e a multiplicação são comutativas:
‘Para todos \(a,b \in \mathbb{Z}, a+b=b+a\) e \(a\cdot b = b\cdot a\text{.}\)’
A adição e a multiplicação são associativas:
‘Para todos \(a,b,c \in \mathbb{Z}, (a+b)+c=a+(b+c)\) e \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)\text{.}\)’
A adição e a multiplicação possuem elementos neutros:
‘Para todo \(a\in \mathbb{Z}, a+0 = a\) e \(a\cdot 1 = a\text{.}\)’
A adição possui elementos simétricos:
‘Para todo \(a\in \mathbb{Z}\text{,}\) existe \(b(=a)\) tal que \(a+b=0\text{.}\)’
A multiplicação é distributiva com relação à adição:
‘Para todos \(a,b,c\in \mathbb{Z}\text{,}\) tem-se \(a\cdot(b+c) = a\cdot b+a\cdot c\text{.}\)’

Observe que \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\) e note que o conjunto dos números inteiros é particionado em três subconjuntos:

\begin{equation*} \mathbb{Z} = \mathbb{N}\cup \{0\} \cup (\mathbb{-N}), \end{equation*}

onde \(\mathbb{-N}\) é o conjunto dos simétricos dos elementos de \(\mathbb{N}\text{.}\)

Proposição 1.2.2.

Seja \(a\in \mathbb{Z}\text{,}\) então \(a\cdot 0 = 0\text{.}\)

Demonstração.

Dos item 4 e 6 do Axioma 1.2.1 temos

\begin{equation*} a\cdot 0 = a(0+0) = a\cdot 0 + a\cdot 0. \end{equation*}

Somando \(-(a\cdot 0)\) aos membros extemos da igualdade, pelos itens 5, 3, 2 e 4 do Axioma 1.2.1, obtemos

\begin{align*} 0 = \amp ~-(a\cdot 0) + a\cdot 0 = -(a\cdot 0) + (a\cdot 0 + a\cdot 0) \\ = \amp~ (-(a\cdot 0)+ a\cdot 0) + a\cdot 0\\ = \amp~ 0 + a\cdot 0 \\ = \amp~ a\cdot 0. \end{align*}

Proposição 1.2.3.

A adição é compatível e cancelativa com respeito à igualdade:

\begin{equation*} \forall~ a,b,c \in \mathbb{Z},~ a = b \Leftrightarrow a+c = b+c. \end{equation*}

Demonstração.

A implicação

\begin{equation*} a=b \Rightarrow a+c=b+c \end{equation*}

é consequência direta do item 1 do Axioma 1.2.1.

Suponha agora que \(a+c=b+c\text{.}\) Somando \((-c)\) a ambos os lados, obtemos o desejado.

A operação de adição permite-nos definir uma nova operação chamada de subtração. Dados dois números inteiros \(a\) e \(b\text{,}\) define-se o número \(b\) menos \(a\text{,}\) denotado por \(b-a\text{,}\) como sendo

\begin{equation*} b-a = b+(-a)\text{.} \end{equation*}

Dizemos que \(b-a\) é o resultado da subtração de \(a\) de \(b\text{.}\)