Exercícios 5.5 Exercícios
1.
Considere \(X=\{3n; n\in\mathbb{N}\}\text{.}\) Determine uma função bijetiva \(f:\mathbb{N}\rightarrow X\text{.}\) Conclua que \(X\) é enumerável.
2.
Considere \(X=\{3n; n\in\mathbb{Z}\}\text{.}\) Determine uma função bijetiva \(f:\mathbb{N}\rightarrow X\text{.}\) Conclua que \(X\) é enumerável.
3.
Sabemos que os conjuntos abaixo são enumeráveis. Determine uma bijeção \(f:\mathbb{N}\rightarrow X\text{,}\) em que:
- \(\displaystyle X=\{n\in\mathbb{N}; n ~ \mbox{é divisível por 2 e não é divisível por 4}\}\)
- \(\displaystyle X=\{m\in\mathbb{N}; m ~\mbox{é um múltiplo ímpar de 3}\}\)
4.
Sejam \(A\) um conjunto infinito e \(B\) um conjunto finito. Mostre que existe uma função sobrejetiva \(f:A\rightarrow B\) e uma função injetiva \(g:B\rightarrow A\text{.}\)
5.
Determine se os seguintes subconjuntos de \(\mathbb{R}\) são enumeráveis:
- \(\displaystyle A=\{2r+3s; r,s\in\mathbb{Z}\}\)
- \(\displaystyle B=\{1+\frac{1}{n}+\frac{3}{m}; m,n\in\mathbb{N}\}\)
- \(\displaystyle C=\{2x+1; x\in\mathbb{R}\}\)
6.
Suponha que os conjuntos \(A\) e \(B\) são infinitos e enumeráveis tais que \(A\cap B=\emptyset\text{.}\) Utilizando as enumerações de \(A\) e \(B\text{,}\) determine uma bijeção \(h:\mathbb{N}\rightarrow A\cup B\text{.}\)
7.
Sabemos que \(\mathbb{Q}\) é um conjunto enumerável. Portanto, o conjunto \(A=\left\{\dfrac{n}{n+1}; n\in\mathbb{N}\right\}\) é enumerável, e é infinito.
- Considere a aplicação \(f:\mathbb{N}\rightarrow A\) definida por \(f(n)=\dfrac{n}{n+1}\text{,}\) mostre que \(f\) é injetiva e sobrejetiva.
- Determine a bijeção inversa \(g:A\rightarrow\mathbb{N}\) da bijeção \(f\text{.}\)
- Considere o conjunto \(B=\{1,2\}\cup A\text{.}\) Explique por que \(B\) é enumerável e defina uma bijeção \(h:\mathbb{N}\rightarrow B\text{.}\)