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Seção 7.1 O Corpo dos Números Complexos

Vimos na Observação 3.1.3 que a equação \[x^2=-1\] não possui solução no corpo \(\mathbb{R}\text{.}\) Apresentaremos agora o corpo dos números complexos, que é denotado por \(\mathbb{C}\text{,}\) no qual essa equação possui raízes. De maneira geral, veremos que todo polinômio com coeficientes reais possui todas as suas raízes em \(\mathbb{C}\text{.}\)

Definiremos o corpo \(\mathbb{C}\) como segue:

Definição 7.1.1.

O conjunto \(\mathbb{C}\) dos números complexos é um corpo que satisfaz as seguintes condições

  1. O corpo \(\mathbb{C}\) contém o conjunto \(\mathbb{R}\) como um subcorpo.
  2. Existe um número complexo \(i\) tal que \(i^2=-1\text{.}\)
  3. Todo número complexo \(z\) pode ser escrito de maneira única na forma \(z=a+bi\text{,}\) em que \(a,b\in\mathbb{R}\text{.}\) Neste caso, \(a\) é chamado a parte real de \(z\) e \(b\) é chamado a parte imaginária de \(z\) e usa-se a notação \(Re(z)=a\) e \(Im(z)=b\text{.}\)
Observação 7.1.2.

Decorre da condição 3. da Definição 7.1.1 que \[a+bi=c+di ~ \Leftrightarrow ~ a=c ~ \mbox{e} ~ b=d.\]

Exemplo 7.1.3.

Sendo \(z=1+2i\) e \(w=2-3i\text{,}\) vamos calcular \(z+w\) e \(z\cdot w\text{.}\)

Solução

Soma:

\begin{align*} z+w =\amp~ (1+2i) + (2-3i)\\ =\amp~ (1+2) + (2-3)i\\ =\amp~ 3-i \end{align*}

Produto:

\begin{align*} z\cdot w =\amp~ (1+2i)\cdot(2-3i)\\ =\amp~ 2-3i+4i-6i^1\\ =\amp~ 2+6+i\\ =\amp~ 8+i \end{align*}

De maneira geral, as operações \(+\) e \(\cdot\) em \(\mathbb{C}\) estão definidas da seguinte forma: \[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;\] \[(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.\]

Exemplo 7.1.4.

Calcule

  1. \(\displaystyle (3+2i)+(-1+i)\)
  2. \(\displaystyle (3+2i)-(-1+i)\)
  3. \(\displaystyle (3+2i)\cdot(-1+i)\)
  4. \(\displaystyle 3(3+2i)\)
  5. \(\displaystyle (3+2i)^2\)

Da definição, podemos pensar no número complexo \(z=a+bi\) como o ponto \((a,b)\) do plano. O plano no qual representamos os complexos é chamado de plano de Argand-Gauss. Tal representação geométrica é muito útil para entender algumas propriedades dos números complexos.

Exemplo 7.1.5.

Represente geometricamente todos os números complexos apresentados nos exemplos anteriores.

Exemplo 7.1.6.

Como \(\mathbb{C}\) é um corpo e o número \(z=2+i\neq 0\text{,}\) logo deve existir um número complexo \(w=a+bi\) tal que \(z\cdot w=1\text{,}\) isto é, \(w=z^{-1}\in\mathbb{C}\text{.}\) Determine os valores de \(a\) e \(b\text{.}\)

Solução
\begin{align*} 1=\amp~z\cdot w \\ =\amp~ (2+i)\cdot(a+bi)\\ =\amp~ (2a-b)+(2b+a)i \end{align*}

Assim, chegamos no sistema:

\begin{equation*} \begin{cases} 2a-b = 1\\ a+2b = 0\\ \end{cases} \end{equation*}

Que possui a seguinite solução \(a=\frac{2}{5}\) e \(b=-\frac{1}{5}\text{.}\) Portanto,

\begin{equation*} w = z^{-1} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i. \end{equation*}
Definição 7.1.7.

Sendo \(z=a+bi\text{,}\) o número \(\overline{z}=a-bi\) é chamado o conjugado de \(z\text{.}\) Geometricamente, o conjugado \(\overline{z}=a-bi\) de \(z=a+bi\) é representado pelo simétrico de \(z\) relativamente ao eixo real.

Definição 7.1.8.

Dado um número complexo \(z=a+bi\text{,}\) chama-se o módulo de \(z\) o número real não-negativo \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\) Geometricamente, \(|z|\) mede a distância da origem \(O\) ao ponto \(z\text{.}\)

Exemplo 7.1.9.

Observe que, sendo \(z=a+bi\text{:}\) \[z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2.\] E podemos determinar \(z^{-1}\) da seguinte maneira:

\begin{equation*} z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}, \end{equation*}

pois

\begin{equation*} z\cdot\frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{z\cdot\overline{z}}{|z|^2} = \frac{|z|^2}{|z|^2}=1. \end{equation*}

item 1. Sejam \(z=a+bi\) e \(w=c+di\text{,}\) então

\begin{align*} \overline{z+ w} =\amp~ \overline{(a+c)+(b+d)i}\\ =\amp~ (a+c) - (b+d)i\\ =\amp~ (a-bi)+(c-di)\\ =\amp~ \overline{z}+\overline{w}. \end{align*}

item 2. Sejam \(z=a+bi\) e \(w=c+di\text{,}\) então

\begin{align*} \overline{z\cdot w} =\amp~ \overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\ =\amp~ (ac-bd)-(ad+bc)i\\ =\amp~ (a-bi)(c-di)\\ =\amp~ \overline{z}\cdot\overline{w}. \end{align*}
\begin{align*} |z\cdot w|^2 =\amp~(z\cdot w)\cdot \overline{z\cdot w}\\ =\amp~ z\cdot w\cdot \overline{z}\cdot \overline{w}\\ =\amp~ z\cdot \overline{z}\cdot w\cdot \overline{w}\\ =\amp~ |z|^2\cdot|w|^2. \end{align*}

Portanto,

\begin{equation*} |z\cdot w|=|z|\cdot|w| \end{equation*}
\begin{equation*} \overline{z}^n = \underbrace{\overline{z}\cdot\overline{z}\cdots \overline{z}}_{n \text{ fatores}} = \overline{z\cdot z\cdots z} = \overline{z^n}. \end{equation*}
Exemplo 7.1.13.

Resolva a equação \(2z-\overline{z}=1+6i\text{.}\)

Solução

Seja \(z=a+bi\text{,}\) então

\begin{equation*} 2z-\overline{z} = (2a+2bi)-(a-bi) = a+3bi. \end{equation*}

Logo,

\begin{equation*} 2z-\overline{z} = 1+6i \Leftrightarrow a+3bi = 1+6i \Leftrightarrow a=1 \text{ e } b=2. \end{equation*}

Portanto,

\begin{equation*} z = 1+2i. \end{equation*}

Seja

\begin{equation*} p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x + a_0, \end{equation*}

um polinômio com coeficientes reais. Calculando \(p\) em \(\overline{z}\) ficamos com

\begin{align*} p(\overline{z}) = \amp~ a_n\overline{z}^n + a_{n-1}\overline{z}^{n-1}+\cdots + a_1\overline{z} + a_0\\ = \amp~ a_n\overline{z^n} + a_{n-1}\overline{z^{n-1}}+\cdots + a_1\overline{z} + a_0 \quad\text{pelo }\knowl{./knowl/cor-conj-pot.html}{\text{Corolário 7.1.12}}\\ =\amp~ \overline{a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots + a_1z + a_0} \quad\text{pela } \knowl{./knowl/prop-conj.html}{\text{Proposição 7.1.10}}\\ =\amp~ \overline{p(z)}. \end{align*}

A primeira igualdade segue do Teorema 7.1.14

\begin{equation*} p(\overline{z}) = \overline{p(z)}=\overline{0} = 0. \end{equation*}

A segunda igualdade segue da hipótese.