Seção 7.1 O Corpo dos Números Complexos
Vimos na Observação 3.1.3 que a equação \[x^2=-1\] não possui solução no corpo \(\mathbb{R}\text{.}\) Apresentaremos agora o corpo dos números complexos, que é denotado por \(\mathbb{C}\text{,}\) no qual essa equação possui raízes. De maneira geral, veremos que todo polinômio com coeficientes reais possui todas as suas raízes em \(\mathbb{C}\text{.}\)
Definiremos o corpo \(\mathbb{C}\) como segue:
Definição 7.1.1.
O conjunto \(\mathbb{C}\) dos números complexos é um corpo que satisfaz as seguintes condições
- O corpo \(\mathbb{C}\) contém o conjunto \(\mathbb{R}\) como um subcorpo.
- Existe um número complexo \(i\) tal que \(i^2=-1\text{.}\)
- Todo número complexo \(z\) pode ser escrito de maneira única na forma \(z=a+bi\text{,}\) em que \(a,b\in\mathbb{R}\text{.}\) Neste caso, \(a\) é chamado a parte real de \(z\) e \(b\) é chamado a parte imaginária de \(z\) e usa-se a notação \(Re(z)=a\) e \(Im(z)=b\text{.}\)
Observação 7.1.2.
Decorre da condição 3. da Definição 7.1.1 que \[a+bi=c+di ~ \Leftrightarrow ~ a=c ~ \mbox{e} ~ b=d.\]
Exemplo 7.1.3.
Sendo \(z=1+2i\) e \(w=2-3i\text{,}\) vamos calcular \(z+w\) e \(z\cdot w\text{.}\)
SoluçãoSoma:
Produto:
De maneira geral, as operações \(+\) e \(\cdot\) em \(\mathbb{C}\) estão definidas da seguinte forma: \[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;\] \[(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.\]
Exemplo 7.1.4.
Calcule
- \(\displaystyle (3+2i)+(-1+i)\)
- \(\displaystyle (3+2i)-(-1+i)\)
- \(\displaystyle (3+2i)\cdot(-1+i)\)
- \(\displaystyle 3(3+2i)\)
- \(\displaystyle (3+2i)^2\)
Da definição, podemos pensar no número complexo \(z=a+bi\) como o ponto \((a,b)\) do plano. O plano no qual representamos os complexos é chamado de plano de Argand-Gauss. Tal representação geométrica é muito útil para entender algumas propriedades dos números complexos.
Exemplo 7.1.5.
Represente geometricamente todos os números complexos apresentados nos exemplos anteriores.
Exemplo 7.1.6.
Como \(\mathbb{C}\) é um corpo e o número \(z=2+i\neq 0\text{,}\) logo deve existir um número complexo \(w=a+bi\) tal que \(z\cdot w=1\text{,}\) isto é, \(w=z^{-1}\in\mathbb{C}\text{.}\) Determine os valores de \(a\) e \(b\text{.}\)
SoluçãoAssim, chegamos no sistema:
Que possui a seguinite solução \(a=\frac{2}{5}\) e \(b=-\frac{1}{5}\text{.}\) Portanto,
Definição 7.1.7.
Sendo \(z=a+bi\text{,}\) o número \(\overline{z}=a-bi\) é chamado o conjugado de \(z\text{.}\) Geometricamente, o conjugado \(\overline{z}=a-bi\) de \(z=a+bi\) é representado pelo simétrico de \(z\) relativamente ao eixo real.
Definição 7.1.8.
Dado um número complexo \(z=a+bi\text{,}\) chama-se o módulo de \(z\) o número real não-negativo \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\) Geometricamente, \(|z|\) mede a distância da origem \(O\) ao ponto \(z\text{.}\)
Exemplo 7.1.9.
Observe que, sendo \(z=a+bi\text{:}\) \[z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2.\] E podemos determinar \(z^{-1}\) da seguinte maneira:
pois
Proposição 7.1.10.
Se \(z\) e \(w\) são números complexos, então
- \(\displaystyle \overline{(z + w)}=\overline{z}+\overline{w}\)
- \(\displaystyle \overline{(z\cdot w)}=\overline{z}\cdot \overline{w}.\)
Demonstração.
item 1. Sejam \(z=a+bi\) e \(w=c+di\text{,}\) então
item 2. Sejam \(z=a+bi\) e \(w=c+di\text{,}\) então
Corolário 7.1.11.
\(|z\cdot w|=|z|\cdot|w|\text{.}\)
Demonstração.
Portanto,
Corolário 7.1.12.
Se \(n\in\mathbb{N}\) e \(z\in\mathbb{C}\text{,}\) então \(\overline{z}^n=\overline{z^n}\text{.}\)
Demonstração.
Exemplo 7.1.13.
Resolva a equação \(2z-\overline{z}=1+6i\text{.}\)
SoluçãoSeja \(z=a+bi\text{,}\) então
Logo,
Portanto,
Teorema 7.1.14.
Se \(p(x)\) é um polinômio com coeficientes reais e \(z\in\mathbb{C}\text{,}\) então \(p(\overline{z})=\overline{p(z)}\text{.}\)
Demonstração.
Seja
um polinômio com coeficientes reais. Calculando \(p\) em \(\overline{z}\) ficamos com
Corolário 7.1.15.
Seja \(p(x)\) um polinômio com coeficientes reais e \(z\in\mathbb{C}\text{.}\) Se \(z\) é raiz de \(p(x)\text{,}\) então \(\overline{z}\) também é raiz de \(p(x)\text{.}\)
Demonstração.
A primeira igualdade segue do Teorema 7.1.14
A segunda igualdade segue da hipótese.
Teorema 7.1.16.
(Fórmula de Bhaskara) Sejam \(a,b,c\in \mathbb{R}\) com \(a\neq 0\) e consideremos a equação polinomial
Sendo \(\Delta=b^2-4ac:\)
- se \(\Delta=0\text{,}\) então a equação possui uma única solução, dada por \(x_1=-\dfrac{b}{2a}\text{;}\)
- se \(\Delta>0\text{,}\) então a equação possui duas soluções distintas, dadas por \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) e \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\text{;}\)
- se \(\Delta\lt 0\text{,}\) então a equação possui duas soluções complexas que não são reais, dadas por\begin{equation*} x_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \quad\text{ e }\quad x_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}. \end{equation*}Note que \(x_2=\overline{x_1}\text{.}\)