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Seção 3.2 O módulo de um número real

Definição 3.2.1.

Dado \(x\in\mathbb{R}\) definimos o módulo (ou valor absoluto) de \(x\) como

\begin{equation*} |x|=\begin{cases} x, \amp \text{ se } x>0\\ 0, \amp \text{ se } x=0\\ -x, \amp \text{ se } x\lt 0\\ \end{cases} \end{equation*}
Observação 3.2.2.

Note que \(|x|=\max\{x,-x\}\text{.}\)

Exemplo 3.2.3.

Calcule os seguintes números:

  1. \(\displaystyle |3|\)
  2. \(\displaystyle |-3|\)
  3. \(\displaystyle |0|\)
  4. \(\displaystyle |3-\pi|\)

item 1. Pelo item 2 do Axioma 3.1.1, ou \(x=0\) ou \(x\in \mathbb{R}^+\) ou \(-x\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Como \(|x| = \max\{x,-x\}\text{,}\) claramente \(|x|\geq 0\text{.}\)

item 2. \(|-x| = \max\{-x, -(-x)\} = \max\{-x, x\} = \max\{x, -x\} = |x|\text{.}\)

item 3. Claramente \(x\leq |x|\text{.}\) Como \(-x\leq |x|\text{,}\) multiplicando por \(-1\) obtemos, \(x\geq -|x|\text{.}\) Logo,

\begin{equation*} -|x|\leq x \leq |x|. \end{equation*}

item 4. Existem 3 casos:

  • Se \(x>0\text{,}\) \(|x|=x\text{,}\) então \(|x|^2=x^2\text{.}\)
  • Se \(x\lt 0\text{,}\) \(|x|=-x\text{,}\) então \(|x|^2=(-x)^2 = x^2\text{.}\)
  • Se \(x=0\text{,}\) então \(|x|^2=0=x^2\text{.}\)

item 5. Basta mostar que \(|x\cdot y|^2 = (|x|\cdot |y|)^2\text{,}\) já que são maiores ou iguais a zero. Note que

\begin{equation*} (|x|\cdot |y|)^2 = |x|^2|y|^2= x^2\cdot y^2 = (x\cdot y)^2 = |x\cdot y|^2. \end{equation*}

item 6.

\begin{equation*} \left| \frac{x}{y} \right| = |x\cdot y^{-1}| = |x|\cdot|y^{-1}| = |x|\cdot|y|^{-1} = \frac{|x|}{|y|}. \end{equation*}

item 7. Inicialmente temos, \(|x|\geq x\) e \(|y|\geq y\text{.}\) Somando membro a membro obtemos,

\begin{equation*} |x|+|y|\geq x+y. \end{equation*}

Analogamente, de \(|x|\geq -x\) e \(|y|\geq -y\) resulta \(|x|+|y| \geq -(x+y)\text{.}\) Logo,

\begin{equation*} |x|+|y|\geq |x+y| = \max\{ x+y, -(x+y) \}. \end{equation*}

O próximo resultado é simples, porém muito útil quando queremos resolver equações que envolvem módulos.

Lembrando que \(|x| = \max\{x, -x\}\text{.}\)

  • Se \(|x|=x\) e \(|x|=a\text{,}\) então \(x=a\text{.}\)
  • Se \(|x|=-x\) e \(|x|=a\text{,}\) então \(-x=a\Rightarrow x=-a\text{.}\)
Exemplo 3.2.6.

Resolva as equações modulares

  1. \(|2x-3|=2\text{;}\)
  2. \(|(x-1)(2x+1)|=x-1\text{;}\)
Solução

item 1. Pela proposição anterior,

\begin{equation*} |2x-3|=2 \Leftrightarrow 2x-3=2 ~\text{ ou }~ 2x-3=-2. \end{equation*}
  • \(\displaystyle 2x-3=2 \Leftrightarrow 2x = 5 \Leftrightarrow x=\frac{5}{2}.\)
  • \(2x-3=-2 \Leftrightarrow 2x=-2+3 \Leftrightarrow 2x=1 \Leftrightarrow x= \dfrac{1}{2}\text{.}\)

Ou seja, o conjunto solução é dado por \(S = \{\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\}\text{.}\)

item 2. Inicialmente, note que, o valor absoluto sempre é maior ou igual a zero. Portanto \(x-1\geq 0\text{,}\) logo \(x\geq 1\text{.}\) Pela proposição anterior,

\begin{equation*} |(x-1)(2x+1)|=x-1 \Leftrightarrow \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \end{equation*}
\begin{equation*} \Leftrightarrow (x-1)(2x+1)=x-1 ~\text{ ou }~ (x-1)(2x+1)=-(x-1). \end{equation*}
  • \((x-1)(2x+1)=x-1 \Leftrightarrow 2x(x-1) = 0 \Leftrightarrow x=0\) ou \(x=1\text{.}\)
  • \((x-1)(2x+1)=-(x-1) \Leftrightarrow 2(x^2-1)=0 \Leftrightarrow x=-1\) ou \(x=1\text{.}\)

Ou seja, o conjunto solução é dado por \(S=\{1\}\text{,}\) já que \(x\geq 1\text{.}\)

Pela Proposição 3.2.7,

\begin{equation*} |a-x|\lt \delta \Leftrightarrow -\delta\lt x-a \lt \delta. \end{equation*}

Somando \(a\text{,}\) obtemos o resultado.

Exemplo 3.2.9.

Resolva as inequações modulares

  1. \(|x-5|\lt 2\text{;}\)
  2. \(|2x-3|\geq 5\text{.}\)