UFRPE-DM Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cosecante

Seção 6.2 Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cosecante

Subseção 6.2.1 A função Tangente

Definição 6.2.1.

A função tangente é definida da seguinite forma:

$\begin{equation*} \tan{x} = \frac{sen~x}{\cos{x}}, \quad x\neq \frac{\pi}{2} + n\pi ~(n\in \mathbb{Z}). \end{equation*}$

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Gráfico da função

$f(x)=tan(x)\text{.}$

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Figura 6.2.2. Gráfico da função

$\tan{(x)}\text{,}$ com

$\frac{-3\pi}{2}\leq x\leq \frac{3\pi}{2}\text{.}$

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Considerando

$f(x)=\tan{x}:$

$D(f) = \{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq \frac{\pi}{2}+n\pi,~n\in \mathbb{Z}\}\text{.}$
$Im(f)=\mathbb{R}\text{.}$
A função tangente é periódica de período $\pi\text{,}$ isto é,
$\begin{equation*} \tan{(x)}=\tan{(x+n\pi)},\quad \forall~ n\in \mathbb{Z}, \forall~ x\in D(f)\text{.} \end{equation*}$
A função tangente é ímpar, isto é,
$\begin{equation*} \tan{(-x)} = -\tan{(x)}, \quad \forall~x\in D(f). \end{equation*}$

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Subseção 6.2.2 A função Cotangente

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Definição 6.2.3.

A função cotangente é definida da seguinite forma:

$\begin{equation*} \cot{x} = \frac{\cos{x}}{sen~{x}}, \quad x\neq n\pi ~(n\in \mathbb{Z}). \end{equation*}$

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Gráfico da função

$f(x)=\cot(x)\text{.}$

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Figura 6.2.4. Gráfico da função

$\cot{(x)}\text{,}$ com

$\frac{-3\pi}{2}\leq x\leq \frac{3\pi}{2}\text{.}$

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Considerando

$f(x)=\cot{x}:$

$D(f) = \{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq n\pi,~n\in \mathbb{Z}\}\text{.}$
$Im(f)=\mathbb{R}\text{.}$
A função cotangente é periódica de período $\pi\text{,}$ isto é,
$\begin{equation*} \cot{(x)}=\cot{(x+n\pi)},\quad \forall~ n\in \mathbb{Z}, \forall~ x\in D(f)\text{.} \end{equation*}$
A função cotangente é ímpar, isto é,
$\begin{equation*} \cot{(-x)} = -\cot{(x)}, \quad \forall~x\in D(f). \end{equation*}$

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Subseção 6.2.3 A função Secante

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Definição 6.2.5.

A função secante é definida da seguinite forma:

$\begin{equation*} \sec{x} = \frac{1}{\cos{x}}, \quad x\neq \frac{\pi}{2} + n\pi ~(n\in \mathbb{Z}). \end{equation*}$

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Gráfico da função

$f(x)=\sec(x)\text{.}$

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Figura 6.2.6. Gráfico da função

$\sec{(x)}\text{,}$ com

$\frac{-3\pi}{2}\leq x\leq \frac{3\pi}{2}\text{.}$

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Considerando

$f(x)=\sec{x}:$

$D(f) = \{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq \frac{\pi}{2}+ n\pi,~n\in \mathbb{Z}\}\text{.}$
$Im(f)=(-\infty, -1]\cup[1,+\infty)\text{.}$
A função secante é periódica de período $2\pi\text{,}$ isto é,
$\begin{equation*} \sec{(x)}=\sec{(x+2n\pi)},\quad \forall~ n\in \mathbb{Z}, \forall~ x\in D(f)\text{.} \end{equation*}$
A função secante é par, isto é,
$\begin{equation*} \sec{(-x)} = \sec{(x)}, \quad \forall~x\in D(f). \end{equation*}$

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Subseção 6.2.4 A função Cossecante

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Definição 6.2.7.

A função cossecante é definida da seguinite forma:

$\begin{equation*} \csc{x} = \frac{1}{sen~x}, \quad x\neq n\pi ~(n\in \mathbb{Z}). \end{equation*}$

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Gráfico da função

$f(x)=\csc(x)\text{.}$

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Figura 6.2.8. Gráfico da função

$\csc{(x)}\text{,}$ com

$\frac{-3\pi}{2}\leq x\leq \frac{3\pi}{2}\text{.}$

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Considerando

$f(x)=\csc{x}:$

$D(f) = \{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq n\pi,~n\in \mathbb{Z}\}\text{.}$
$Im(f)=(-\infty, -1]\cup[1,+\infty)\text{.}$
A função cossecante é periódica de período $2\pi\text{,}$ isto é,
$\begin{equation*} \csc{(x)}=\csc{(x+2n\pi)},\quad \forall~ n\in \mathbb{Z}, \forall~ x\in D(f)\text{.} \end{equation*}$
A função secante é ímpar, isto é,
$\begin{equation*} \csc{(-x)} = -\csc{(x)}, \quad \forall~x\in D(f). \end{equation*}$